- •6.1. Общая постановка задачи 318
- •0. Введение
- •0.1. Приближенные вычисления
- •0.2. Численные методы и программирование
- •0.3. Особенности машинных вычислений
- •0.4. Структура учебного пособия
- •1. Специальные классы математических объектов и операции над ними
- •1.1. Комплексные числа
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.2. Векторы
- •1.2.1. Основные понятия
- •1.2.2. Определение программного класса многомерных векторов
- •1.3. Полиномы
- •1.3.1. Общие сведения
- •1.3.2. Операции над полиномами
- •1.3.3. Вычисление значений полиномов
- •1.3.4. Вычисление корней полиномов
- •1.3.5. Определение программного класса полиномов
- •2. Матрицы и задачи линейной алгебры
- •2.1. Общие сведения о матрицах и матричных операциях
- •2.2. Методы решения основных задач линейной алгебры
- •2.2.1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.2.1.1. Метод Гаусса для решения слау, вычисления определителей и обращения матриц
- •2.2.1.2. Предварительная факторизация матриц (разложение в произведение двух матриц) в задачах решения слау
- •2.2.1.2.1. Факторизация матриц по методу Холецкого
- •2.2.1.3. Метод ортогонализации для решения слау
- •2.2.1.4. Итерационные методы решения слау
- •2.2.1.4.1. Проблема сходимости итерационных методов
- •2.2.2. Методы вычисления собственных значений матриц
- •2.2.2.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •2.2.2.2. Метод Данилевского
- •2.2.2.4. Метод Леверрье-Фаддеева
- •2.2.2.5. Итерационный степенной метод
- •2.2.2.6. Метод Крылова
- •2.2.3. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •2.3. Программная реализация матричного класса
- •2.3.1. Общее описание структуры матричного класса
- •2.3.2. Интерфейсный файл реализации матричного класса matrix.H
- •2.4. Программная реализация методов вычисления собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.4.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •2.4.2. Программная реализация метода Крылова вычисления собственных значений
- •2.4.3. Метод Леверрье-Фаддеева вычисления коэффициентов характеристического полинома
- •2.5. Элементы линейного программирования
- •2.5.1. Общая постановка задачи
- •2.5.2. Примеры задач линейного программирования
- •2.5.2.1. Задача о пищевом рационе
- •2.5.2.2. Задача о распределении ресурсов
- •2.5.2.3. Задача планирования перевозок (транспортная задача)
- •2.5.3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •2.5.3.1. Приведение системы к стандартной, удобной для преобразований форме
- •2.5.3.2. Алгоритм замены базисных переменных
- •2.5.3.3. Алгоритм поиска опорного решения озлп
- •2.5.3.3.1. Алгоритм выбора разрешающего элемента для приближения к опорному решению
- •2.5.3.4. Алгоритм поиска оптимального решения
- •2.5.4. Транспортная задача линейного программирования
- •2.5.4.1. Общие сведения
- •2.5.4.2. Формирование опорного плана
- •2.5.4.3. Циклические переносы перевозок для улучшения плана
- •2.5.4.4. Метод потенциалов
- •2.5.5. Транспортная задача при небалансе запасов и заявок
- •2.5.6. Транспортная задача с временным критерием
- •2.6. Программная реализация задач линейного программирования
- •2.6.1. Симплекс-метод решения озлп
- •2.6.2. Программная реализация метода решения транспортной задачи
- •3. Аналитическое приближение функций, заданных таблично
- •3.1. Общая постановка задачи
- •3.2. Общая методика решения задач аппроксимации
- •3.2.1. Алгебраическая интерполяция
- •3.2.1.1. Классический интерполяционный полином
- •3.2.1.2. Метод интерполяции Лагранжа
- •3.2.1.3. Интерполяционный полином Ньютона
- •3.2.1.4. Интерполяция сплайнами
- •3.2.1.5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов
- •3.2.2. Программная реализация класса аппроксимирующих функций
- •4.1.2. Программная реализация методов численного интегрирования
- •4.2.Численное дифференцирование
- •5. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений
- •5.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (общие сведения)
- •5.2. Процессы как объект исследования и управления
- •5.3. Операционное исчисление и его применение к исследованию динамики линейных систем
- •5.3.1. Общие сведения
- •5.3.1.1. Правила операционного исчисления
- •5.3.2. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.3.2.1. Передаточные функции линейных динамических систем
- •5.3.2.2. Частотные характеристики динамических систем
- •5.3.2.3. Фазовые портреты динамических систем
- •5.3.2.4. Ограничения области применения символического метода
- •5.3.3. Программная реализация класса символического метода
- •5.4. Конечно-разностные методы решения задачи Коши для линейных и нелинейных оду
- •5.4.1. Одношаговые методы
- •5.4.1.1. Метод Эйлера
- •5.4.1.2. Методы Рунге-Кутта 2-го порядка
- •5.4.1.3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •5.4.2. Многошаговые методы (методы Адамса)
- •5.4.3. Проблема устойчивости
- •5.4.4. Программная реализация численных методов решения задачи Коши
- •5.5. Двухточечные краевые задачи
- •5.5.1. Метод конечных разностей для линейных краевых (граничных) задач
- •5.5.2. Метод стрельбы для граничных задач
- •5.5.3. Программная реализация класса граничных задач
- •6. Численные методы решения систем нелинейных уравнений (сну) и поиска экстремумов функций
- •6.1. Общая постановка задачи
- •6.2. Решение нелинейных уравнений
- •6.2.1. Функция одной переменной при отсутствии помех
- •6.2.1.1. Методы последовательного сокращения интервала неопределенности
- •6.2.1.2. Рекуррентные методы уточнения текущей оценки значения корня
- •6.2.2. Уточнение корня функции одной переменной в условиях помех
- •6.2.2.1. Методы стохастической аппроксимации
- •6.3. Методы поиска экстремума функций
- •6.3.1. Унимодальные функции одного аргумента при отсутствии помех
- •6.3.1.1. Метод дихотомии
- •6.3.1.2. Метод Фибоначчи
- •6.3.1.3. Метод золотого сечения
- •6.3.2. Многомерный поиск экстремума
- •6.3.2.1. Метод координатного спуска
- •6.3.2.2. Метод градиента (наискорейшего спуска или крутого восхождения или метод Бокса-Уилсона)
- •6.3.2.3. Последовательный симплексный поиск (псм) субоптимальной области в многомерном пространстве
- •6.3.2.3.1. Вводные замечания
- •6.3.2.3.2. Алгоритм последовательного симплексного метода
- •6.3.2.3.3. Подготовительные операции
- •6.3.2.3.4. Алгоритм поиска
- •6.3.2.3.5. Преимущества метода
- •6.3.2.3.6. Недостатки метода
- •6.4. Программная реализация класса подпрограмм для поиска экстремума унимодальных в заданном интервале функций одной переменной
- •6.5. Программная реализация класса подпрограмм для многомерного поиска экстремума унимодальных функций
- •Приложение. Как переносить данные в Ехсеl и отображать графики зависимостей
- •Литература
- •324050, Кривой Рог-50, пр. Металлургов, 28.
0.4. Структура учебного пособия
Настоящее учебное пособие рассчитано на сравнительно небольшой двухсеместровый курс численных методов (2 часа в неделю лекций + 2 часа лабораторных работ в компьютерном классе). Изложение курса предполагает владение основами объектно-ориентированного программирования на языке С++.
В соответствии с уже изложенной концепцией объектно-ориентированной программной реализации многие методы вычислений инкапсулируются в классы математических объектов, с которыми они работают; например, метод наименьших квадратов и метод решения систем линейных алгебраических уравнений будут размещены в классе матриц, а полиномиальная арифметика и методы вычисления полиномиальных нулей – в классе полиномов.
Главы 1 и 2 посвящены рассмотрению специальных математических типов (и операций над ними) и определению соответствующих им классов в терминах языка С++. Вначале в качестве иллюстрации рассматривается необходимый при изучении последующего материала (например, методов вычисления корней полиномов при наличии среди них комплексных) предположительно знакомый слушателю и реализованный в библиотеке С++ класс комплексных чисел; его программная реализация взята прямо из среды разработки Borland C++ и по возможности откомментирована – этот материал служит своеобразным образцом в реализации других рассмотренных в этих главах математических классов – векторов, полиномов, матриц. Изучение матричного класса сопровождается изложением методов решения основных задач линейной алгебры – систем линейных уравнений, вычисления собственных значений и векторов матриц.
Глава 3 содержит изложение методов полиномиальной и экспоненциальной аппроксимации функций и их программную реализацию, также инкапсулированную в виде функций-членов специального класса.
Глава 4 является естественным прикладным продолжением предыдущей и содержит методы численного интегрирования и дифференцирования функций с использованием рассмотренных методов приближения функций.
Глава 5 посвящена методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений; при этом рассматриваются не только численные методы, а иллюстрируется применение приближенных численных методов при программной реализации аналитических решений. Например, при решении дифференциальных уравнений методами операционного исчисления возникает задача вычисления корней характеристических уравнений, которая может быть решена численно.
Глава 6 содержит введение в поисковые методы определения экстремумов функций при отсутствии и наличии шумов в определении значения функции и методы программирования соответствующих задач.
По-видимому, некоторый материал покажется избыточным повторением предположительно известного из других математических курсов, но авторы ориентировались на известный им контингент слушателей и уровень его математической подготовки; невозможно было игнорировать также несогласованность учебных планов по высшей математике, вычислительным методам и информатике – зачастую вместо общематематической поддержки прикладных курсов картина получается обратной, так как прикладные дисциплины стоят в плане раньше поддерживающих математических дисциплин.