- •6.1. Общая постановка задачи 318
- •0. Введение
- •0.1. Приближенные вычисления
- •0.2. Численные методы и программирование
- •0.3. Особенности машинных вычислений
- •0.4. Структура учебного пособия
- •1. Специальные классы математических объектов и операции над ними
- •1.1. Комплексные числа
- •1.1.1. Основные понятия
- •1.2. Векторы
- •1.2.1. Основные понятия
- •1.2.2. Определение программного класса многомерных векторов
- •1.3. Полиномы
- •1.3.1. Общие сведения
- •1.3.2. Операции над полиномами
- •1.3.3. Вычисление значений полиномов
- •1.3.4. Вычисление корней полиномов
- •1.3.5. Определение программного класса полиномов
- •2. Матрицы и задачи линейной алгебры
- •2.1. Общие сведения о матрицах и матричных операциях
- •2.2. Методы решения основных задач линейной алгебры
- •2.2.1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.2.1.1. Метод Гаусса для решения слау, вычисления определителей и обращения матриц
- •2.2.1.2. Предварительная факторизация матриц (разложение в произведение двух матриц) в задачах решения слау
- •2.2.1.2.1. Факторизация матриц по методу Холецкого
- •2.2.1.3. Метод ортогонализации для решения слау
- •2.2.1.4. Итерационные методы решения слау
- •2.2.1.4.1. Проблема сходимости итерационных методов
- •2.2.2. Методы вычисления собственных значений матриц
- •2.2.2.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •2.2.2.2. Метод Данилевского
- •2.2.2.4. Метод Леверрье-Фаддеева
- •2.2.2.5. Итерационный степенной метод
- •2.2.2.6. Метод Крылова
- •2.2.3. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •2.3. Программная реализация матричного класса
- •2.3.1. Общее описание структуры матричного класса
- •2.3.2. Интерфейсный файл реализации матричного класса matrix.H
- •2.4. Программная реализация методов вычисления собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.4.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •2.4.2. Программная реализация метода Крылова вычисления собственных значений
- •2.4.3. Метод Леверрье-Фаддеева вычисления коэффициентов характеристического полинома
- •2.5. Элементы линейного программирования
- •2.5.1. Общая постановка задачи
- •2.5.2. Примеры задач линейного программирования
- •2.5.2.1. Задача о пищевом рационе
- •2.5.2.2. Задача о распределении ресурсов
- •2.5.2.3. Задача планирования перевозок (транспортная задача)
- •2.5.3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •2.5.3.1. Приведение системы к стандартной, удобной для преобразований форме
- •2.5.3.2. Алгоритм замены базисных переменных
- •2.5.3.3. Алгоритм поиска опорного решения озлп
- •2.5.3.3.1. Алгоритм выбора разрешающего элемента для приближения к опорному решению
- •2.5.3.4. Алгоритм поиска оптимального решения
- •2.5.4. Транспортная задача линейного программирования
- •2.5.4.1. Общие сведения
- •2.5.4.2. Формирование опорного плана
- •2.5.4.3. Циклические переносы перевозок для улучшения плана
- •2.5.4.4. Метод потенциалов
- •2.5.5. Транспортная задача при небалансе запасов и заявок
- •2.5.6. Транспортная задача с временным критерием
- •2.6. Программная реализация задач линейного программирования
- •2.6.1. Симплекс-метод решения озлп
- •2.6.2. Программная реализация метода решения транспортной задачи
- •3. Аналитическое приближение функций, заданных таблично
- •3.1. Общая постановка задачи
- •3.2. Общая методика решения задач аппроксимации
- •3.2.1. Алгебраическая интерполяция
- •3.2.1.1. Классический интерполяционный полином
- •3.2.1.2. Метод интерполяции Лагранжа
- •3.2.1.3. Интерполяционный полином Ньютона
- •3.2.1.4. Интерполяция сплайнами
- •3.2.1.5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов
- •3.2.2. Программная реализация класса аппроксимирующих функций
- •4.1.2. Программная реализация методов численного интегрирования
- •4.2.Численное дифференцирование
- •5. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений
- •5.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (общие сведения)
- •5.2. Процессы как объект исследования и управления
- •5.3. Операционное исчисление и его применение к исследованию динамики линейных систем
- •5.3.1. Общие сведения
- •5.3.1.1. Правила операционного исчисления
- •5.3.2. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.3.2.1. Передаточные функции линейных динамических систем
- •5.3.2.2. Частотные характеристики динамических систем
- •5.3.2.3. Фазовые портреты динамических систем
- •5.3.2.4. Ограничения области применения символического метода
- •5.3.3. Программная реализация класса символического метода
- •5.4. Конечно-разностные методы решения задачи Коши для линейных и нелинейных оду
- •5.4.1. Одношаговые методы
- •5.4.1.1. Метод Эйлера
- •5.4.1.2. Методы Рунге-Кутта 2-го порядка
- •5.4.1.3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •5.4.2. Многошаговые методы (методы Адамса)
- •5.4.3. Проблема устойчивости
- •5.4.4. Программная реализация численных методов решения задачи Коши
- •5.5. Двухточечные краевые задачи
- •5.5.1. Метод конечных разностей для линейных краевых (граничных) задач
- •5.5.2. Метод стрельбы для граничных задач
- •5.5.3. Программная реализация класса граничных задач
- •6. Численные методы решения систем нелинейных уравнений (сну) и поиска экстремумов функций
- •6.1. Общая постановка задачи
- •6.2. Решение нелинейных уравнений
- •6.2.1. Функция одной переменной при отсутствии помех
- •6.2.1.1. Методы последовательного сокращения интервала неопределенности
- •6.2.1.2. Рекуррентные методы уточнения текущей оценки значения корня
- •6.2.2. Уточнение корня функции одной переменной в условиях помех
- •6.2.2.1. Методы стохастической аппроксимации
- •6.3. Методы поиска экстремума функций
- •6.3.1. Унимодальные функции одного аргумента при отсутствии помех
- •6.3.1.1. Метод дихотомии
- •6.3.1.2. Метод Фибоначчи
- •6.3.1.3. Метод золотого сечения
- •6.3.2. Многомерный поиск экстремума
- •6.3.2.1. Метод координатного спуска
- •6.3.2.2. Метод градиента (наискорейшего спуска или крутого восхождения или метод Бокса-Уилсона)
- •6.3.2.3. Последовательный симплексный поиск (псм) субоптимальной области в многомерном пространстве
- •6.3.2.3.1. Вводные замечания
- •6.3.2.3.2. Алгоритм последовательного симплексного метода
- •6.3.2.3.3. Подготовительные операции
- •6.3.2.3.4. Алгоритм поиска
- •6.3.2.3.5. Преимущества метода
- •6.3.2.3.6. Недостатки метода
- •6.4. Программная реализация класса подпрограмм для поиска экстремума унимодальных в заданном интервале функций одной переменной
- •6.5. Программная реализация класса подпрограмм для многомерного поиска экстремума унимодальных функций
- •Приложение. Как переносить данные в Ехсеl и отображать графики зависимостей
- •Литература
- •324050, Кривой Рог-50, пр. Металлургов, 28.
2.5.3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
Допустимым решением ОЗЛП называют любую совокупность неотрицательных x1, x2, ..., xn, удовлетворяющую исходной системе линейных уравнений.
Оптимальным называют допустимое решение, при котором заданная линейная целевая функция обращается в минимум.
Наиболее универсальным методом решения ОЗЛП является симплекс-метод, основанный на том, что вначале отыскивается произвольное допустимое решение, а затем оно последовательно улучшается до оптимального.
Схема решения ОЗЛП симплекс-методом:
составляется симплекс-таблица из коэффициентов системы, представляющая собой расширенную матрицу, дополненную строкой коэффициентов целевой функции, например (N+1)-й, а также нулевыми строкой и столбцом для учета производимых перестановок.
выбирается произвольный набор базисных переменных по числу имеющихся в наличии линейных алгебраических уравнений;
система разрешается относительно базисных переменных, выражая их через остальные (свободные);
свободные переменные приравнивают нулю, получая некоторое решение в виде компонент вектора свободных членов;
проверяют решение на допустимость – то есть на отсутствие отрицательных компонент;
при наличии отрицательных свободных членов производят последовательную замену базисных переменных на свободные до получения допустимого решения, которое называют опорным.
опорное решение является оптимальным, если в строке коэффициентов целевой функции отсутствуют отрицательные элементы, то есть целевая функция не может быть уменьшена за счет увеличения каких-нибудь свободных переменных сверх нуля.
2.5.3.1. Приведение системы к стандартной, удобной для преобразований форме
Это приведение состоит в разрешении системы относительно выбранных базисных переменных, что достигается, например, решением по методу Гаусса за один «ход»; если выбрать первые n элементов базисными, то задача состоит в преобразовании левой части nxn матрицы в единичную с одновременной обработкой всех элементов.
После решения системы относительно базисных переменных и подстановки их в линейную форму матрица приобретает вид с единичной матрицей в правой части.
2.5.3.2. Алгоритм замены базисных переменных
Процедура переразрешения системы ОЗЛП относительно новых базисных переменных может быть формализована и сведена к алгоритму (последовательности допустимых однообразных действий над элементами системной матрицы). Формулы преобразования могут быть легко выведены и должны выполняться в следующем порядке:
1) Разрешающий элемент матрицы (имеющий один индекс – номер базисного элемента, а второй – свободного для замены) заменяется обратной ему величиной;
2) Все элементы разрешающего столбца умножаются на обновленный разрешающий элемент и меняют знак;
3) Все элементы, кроме разрешающих столбца и строки, вычисляются так
m[i, j]:=m[i, j]+m[i, jr]*m[ir, j];
где jr – разрешающий столбец, ir – разрешающая строка;
4) Все оставшиеся элементы разрешающей строки умножаются на обновленный разрешающий элемент.
2.5.3.3. Алгоритм поиска опорного решения озлп
если все свободные члены в матрице, разрешенной относительно базиса, положительны, то они и представляют собой допустимое опорное решение и можно переходить к этапу его оптимизации;
если среди свободных членов есть отрицательные, то их вектор не годится в качестве опорного решения, так как все составляющие, по условию, неотрицательны, и необходимо производить последовательный обмен между базисными и свободными переменными, пока не избавимся от отрицательных свободных членов или не придем к выводу об отсутствии допустимого опорного решения.