9. О качественном анализе динамических систем

В математике существует понятие фазового портрета системы – под ним понимают совокупность траекторий решений, описывающих систему уравнений в n-мерном пространстве R_n – его называют фазовым пространством системы. Так как для пространств размерностью выше двух графическое отображение траекторий становится проблематичным, то реальное построение осуществляют на плоскости для сравнительно простых систем. Но само понятие фазовых траекторий оказывается полезным инструментом анализа динамики систем.

Рассмотрим для примера одномерную механическую систему, описываемую дифференциальным уравнением Ньютона для материальной точки:

m =f(x).

Запишем его в виде системы двух уравнений первого порядка, введя новую переменную – импульс p=m и потенциальную энергию U(x)=– .

При этом возникает понятие гамильтониана (в нашем случае это просто полная энергия системы, но в других случаях это может быть значительно более сложное и глубокое понятие):

H(p, x)=U(x)+

и система может быть записана в виде

; .

Теперь можно рассмотреть плоскость (р, х), являющуюся фазовым пространством (но не являющуюся геометрическим пространством) – изображение движения системы будет более простым и понятным, хотя реально оно по-прежнему осуществляется вдоль единственной прямой.

Для простого гармонического осциллятора типа подвешенного на пружине груза полная энергия (гамильтониан):

H(p, x)= + .

Траектории на фазовой плоскости совпадают с линиями уровня гамильтониана

+ =Е,

представляя собой семейства эллипсов =1, где

a= b= .

В общем случае объекта, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений

=f_i(t, x₁, …, x_n, u₁, …, u_r), i=1, …, n

с начальными условиями t=t₀, x_i(t₀)=x_i0 при выборе определенного допустимого управления u(t) движение объекта определено единственным образом и конец вектора x(t) опишет траекторию в пространстве своих координат. Эти координаты мы можем считать фазовыми координатами, а вектор x(t) будем называть фазовым вектором объекта, под которым будем подразумевать всякий вектор, компоненты которого полностью характеризуют текущее состояние объекта и при выбранном допустимом управлении и заданных начальных условиях полностью определяют движение объекта в рассматриваемые моменты времени.

В такой трактовке переходный процесс колебательного звена второго порядка может быть отображен на фазовой плоскости «функция решения – первая производная решения» и при затухающем переходном процессе годограф фазового вектора имеет вид спиралей, стягивающихся к началу координат или к эллипсам при гармонических воздействиях или нулевом затухании.

При выполнении компьютерного моделирования в лабораторных работах мы построим простейшие фазовые портреты управляемых объектов.

10. О проблеме оптимального управления

В современных системах устройством управления, которое принимает на своих входах заданные и измеренные значения выходных параметров, значения измеряемых возмущений, содержит зависимости между входами и выходами управляемого объекта, вычисляет и подает на его вход необходимые изменения управляющих воздействий для наиболее точного выполнения задания, являются вычислительные машины. К управляющим устройствам естественно предъявить не только требование свести к нулевому уровню рассогласование между заданными и текущими значениями выходных параметров объекта, но и сделать это как можно быстрее – такие системы называют оптимальными по быстродействию.

Задача создания оптимального по быстродействию алгоритма управления очень сложна даже в простейших случаях. Как правило, управляемые процессы описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений достаточно высокого порядка. Но пусть для простого примера замкнутая система управления в целом (объект и управляющее устройство или регулятор) описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. При малых значениях коэффициента демпфирования (при первой производной в дифференциальном уравнении) переходный процесс будет иметь резко колебательный характер (с большим перерегулированием) и время компенсации (например, ступенчатого возмущения по нагрузке) будет большим. Если сделать коэффициент демпфирования слишком большим, то движение к заданному значению будет апериодическим и время регулирования будет также большим. Выбором коэффициента демпфирования можно уменьшить время регулирования до некоторого значения, но простейшие соображения подсказывают, что можно достичь лучшего результата, если перейти в нелинейный режим – при больших рассогласованиях сделаем коэффициент малым, а при достаточном уменьшении рассогласования резко его увеличим: начальная фаза процесса обеспечит движение к нулевому рассогласованию с максимальной скоростью, а завершающая будет соответствовать плавному апериодическому подходу к заданию. В результате время регулирования значительно сократится.

Переходный процесс: 1 – при малом демпфировании, 2 – при сильном демпфировании, 3 – при переключении значения коэффициента демпфирования.

Системы, способные изменять свои параметры для достижения лучшего качества переходных процессов носят название систем с переменной структурой. Исследование нелинейных систем очень трудоемко, но ожидаемые результаты того стоят.

В большинстве реальных случаев объект управления задан и его характеристики изменять нельзя – в этом случае задача разработки системы управления сводится к созданию такого реализуемого управляющего алгоритма, который обеспечивает наилучшее в определенном смысле управление объектом. Структура управляющего алгоритма зависит от характеристик объекта и предъявляемых к процессу требований, объема доступной информации о процессе, ограничений на ресурсы управления (на управляющие воздействия) и на все переменные состояния объекта – координаты, скорости, ускорения и пр. Математическая модель управляемого объекта в общем случае может быть представлена системой дифференциальных уравнений вида:

=f(x, u, z, t).

Здесь х, u, z – вектор-функции от времени t выходных параметров, управляющих воздействий, измеряемых возмущений соответственно, f – вектор-функция, связывающая их взаимной зависимостью. В зависимости от того, какая группа из этих функций должна быть найдена в результате решения системы уравнений, различают следующие задачи:

• задачу анализа (система решается относительно х);

• задачу идентификации объекта управления (определяется f);

• задачу определения алгоритма управления (система решается относительно u при заданных требования к нему и наложенной системе ограничений).

В этом разделе мы обсудим постановку и некоторые методы решения последней задачи.

Предъявляемые к управляемому объекту требования содержат цель управления – на языке математики это всегда желание достичь экстремума некоторой величины Q – критерия оптимальности, значение которого в общем случае зависит как от выходной величины, так и от управляющего воздействия и может явно зависеть от времени:

Q(x, u, t)=min.

Q – это функционал, число, зависящее от вида функций x, u. Например, в частном случае Q= , где Т – фиксированная величина.

В качестве критерия Q могут быть выбраны различные технические или экономические показатели – производительность, качество, затраты сырья или энергоресурсов: выбор за прикладной областью, а не за теорией управления.

В настоящее время продолжается построение единой общей теории оптимальных систем управления, включающей как формулировку общих задач, так и методы их решения. Рассмотрим общие задачи этой теории.

Пусть заданы: оператор объекта f(x, u, z, t), цель управления Q, ограничения на управления u(u) и/или на координаты объекта x(x). Зададимся также классом кусочно-непрерывных функций u(t) с конечным числом точек разрыва первого рода на конечном интервале. Задача состоит в том, чтобы при этих заданных условиях найти такой алгоритм (стратегию) управляющего устройства, при котором критерий оптимальности принимает минимальное значение. Такой алгоритм называют оптимальным. В частном случае систем с полной информацией об объекте, когда функции z и x регулярны и могут быть включены в состав оператора объекта и критерия оптимальности, общее выражение для алгоритма оптимальной системы имеет вид:

u(t)=K[x(), u(), t] (t₀t).

Если текущее значение вектора x полностью характеризует все будущее поведение объекта независимо от предыстории при t, объект характеризуется заданными дифференциальными уравнениями и не содержит запаздываний, то u(t) в данный момент является функцией только значения х в тот же момент времени u(t)=K[x(t), t]. Если, наконец, объект стационарен (уравнения движения не содержат явно время t), то оптимальный алгоритм ищется в виде функции u(t)=K[x(t)].

Изложенная постановка задачи оптимального управления является основной. Но существует и другая задача – об определении оптимальных процессов u(t), x(t) при заданных начальных условиях х₀; это не главная задача, она выдвигается обычно в виде промежуточной, чтобы от нее перейти к основной – определению оптимального алгоритма. Исключая, например, из зависимости u(t), x(t), при некоторых дополнительных условиях можно найти зависимость u(x), то есть алгоритм оптимального управляющего устройства.

Постановку задачи определения оптимального процесса, например, для систем с полной информацией об объекте можно сформулировать так. Пусть задано векторное уравнение движения объекта

=f(x, u, t),

где f_i – непрерывные и дифференцируемые по своим аргументам функции, x(t₀)=x₀.

Допустимыми будем считать управления, удовлетворяющие имеющимся ограничениям u(u). В задаче об оптимальном процессе требуется найти такое допустимое u(t) и соответствующее ему движение x(t) объекта, чтобы траектория изображающей точки в фазовом пространстве системы, переходящей из начального состояния x₀ в состояние x_Т обеспечивала минимум некоторому функционалу Q= , где G – конечная, обычно положительная скалярная функция x(t), u(t) и t. Явную зависимость от времени формально можно устранить вводом дополнительной координаты x_n+1, x_n+1(t=0)=0, =1. Так как при этом x_n+1=t, то вместо t можно везде писать x_n+1 и новая система не будет содержать явно время, но размерность вектора ее выходных координат увеличится на 1. В частном случае задачи с фиксированной конечной точкой x_Т, но не фиксированным временем ее достижения Т, положив в выражении для Q G=1, получим Q=T и требование Q=min превращается в T=min, то есть получаем задачу о максимальном быстродействии, сыгравшую большую роль в формировании общей теории оптимальных систем.