
- •Автоматика
- •1. Управление и регулирование: основные понятия и определения
- •2. О классификации систем управления
- •3. Физические основы измерительных преобразователей автоматических систем
- •3.1. Физика преобразователей температуры
- •3.2. Физика измерения усилий
- •3.3. Методы измерения параметров движения
- •3.4. Физические основы измерения состава и концентрации вещества
- •4. Основные задачи исследования автоматических систем
- •5. Операционное исчисление и его применение к исследованию динамики стационарных линейных систем
- •5.1. Общие сведения
- •5.2. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •6. Передаточные функции линейных динамических систем
- •7. Частотные характеристики линейных динамических систем
- •8. Введение в теорию устойчивости линейных стационарных систем авторегулирования
- •9. О качественном анализе динамических систем
- •10. О проблеме оптимального управления
- •11. Динамическое программирование как математический метод решения задач оптимального управления
- •12. Лабораторный практикум по компьютерному моделированию линейных стационарных динамических систем операторным методом
- •12.1. Введение
- •12.2. Лабораторная работа №1
- •12.3. Лабораторная работа №2
- •12.4. Лабораторная работа №3
- •12.5. Лабораторная работа №4
- •12.6. Лабораторная работа №5
- •12.7. Лабораторная работа №6
- •12.8. Лабораторная работа №7
- •13. Программная реализация операторного метода анализа динамики линейных систем
- •13.1.1. Класс линейных дифуравнений с постоянными коэффициентами
- •13.1.2. Форма основной программы
- •13.1.3. Модуль основной программы
- •13.1.4. Форма ввода данных
- •13.1.5. Заголовочный файл модуля ввода данных
- •13.1.6. Модуль ввода данных
- •13.1.7. Заголовочный файл инициализационного модуля
- •13.1.8. Инициализационный модуль
- •13.1.9. Файл проекта
- •13.2. Исходные тексты программы на языке Object Pascal, выполненной в среде Delphi 4
- •13.2.1. Форма изменения размеров пера
- •13.2.2. Модуль изменения размеров пера
- •13.2.3. Форма ввода данных
- •13.2.4. Модуль ввода данных
- •13.2.5. Форма основной программы
- •13.2.6. Модуль основной программы
- •13.2.7. Форма сведений о программе
- •13.2.8. Модуль сведений о программе
- •13.2.9. Файл конфигурации
- •13.2.10. Файл проекта
- •14. Приложения
- •14.1.1. Базовый класс параметризованных векторов
- •14.1.2. Параметризованный класс матриц
- •14.1.3. Параметризованный класс полиномов
- •14.1.4. Класс полиномиальных уравнений
- •14.2. Математические классы на объектном Паскале
- •14.2.1. Класс комплексных чисел
- •14.2.2. Класс действительных векторов
- •14.2.3. Класс комплексных векторов
- •14.2.4. Класс действительных матриц
- •14.2.5. Класс комплексных матриц
- •14.2.6. Класс полиномов
- •Литература
- •Автоматика
- •324050, Кривой Рог-50, пр. Металлургов, 28.
8. Введение в теорию устойчивости линейных стационарных систем авторегулирования
Реакция линейной системы на управляющее или возмущающее воздействие всегда состоит из двух составляющих – собственного и вынужденного движения. Если входные функции имеют дробно-рациональные изображения, то
xсвоб(t)=
,
xвын(t)=
где pi – полюсы передаточной функции (или нули характеристического полинома), pk – полюсы изображения воздействия.
Система автоматического регулирования может нормально функционировать только в том случае, если собственные или свободные движения, возникающие в силу различных причин, с течением времени затухают до нуля; если система удовлетворяет этому условию, то ее называют устойчивой. Если собственное движение системы расходится, то система неустойчива. Собственное движение представляет собой сумму экспоненциальных составляющих, порожденных корнями характеристического полинома – затухание или незатухание соответствующей компоненты полностью определяется значением соответствующего полюса передаточной функции – вернее, его вещественной частью. Если вещественный корень отрицателен или комплексный корень имеет отрицательную вещественную часть, то соответствующая компонента свободного движения системы затухает, положительность вещественного корня или вещественной части комплексного корня порождают расходящийся процесс. При нулевой вещественной части комплексных корней (при чисто мнимых корнях) порождается колебательная компонента с постоянной амплитудой колебаний – такая система считается находящейся на границе устойчивости. Очевидно, что достаточно одной расходящейся компоненты, чтобы система в целом потеряла устойчивость. Поэтому определение устойчивости звучит просто:
Линейная стационарная система устойчива, если все вещественные корни ее характеристического уравнения отрицательны, а все комплексные корни имеют отрицательную вещественную часть. Система, у которой хотя бы один из корней характеристического уравнения располагается левее мнимой оси – неустойчива.
Для анализа устойчивости системы в теории автоматического регулирования разработан ряд правил, позволяющих анализировать устойчивость систем без решения их характеристических уравнений – их называют критериями устойчивости. Сегодня не составляет труда с помощью компьютерной программы решить уравнение любого порядка и по его корням определить устойчивость соответствующей системы. Но значения корней ничего не говорят о причинах возможно обнаруженной неустойчивости и о том, какие параметры системы надо изменить для обеспечения устойчивости, поэтому разработанные критерии сохраняют свое значение и в настоящее время. Наиболее известные из критериев устойчивости следующие:
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица – условия отсутствия у многочлена нулей с положительной вещественной частью формулируются в виде системы неравенств, составленных по коэффициентам многочлена. Неравенства Гурвица записываются в форме определителей (их количество равно порядку уравнения), составленных из коэффициентов многочлена по специальным правилам; доказывается, что полином не имеет нулей в правой полуплоскости, если все определители положительны.
Частотный критерий устойчивости
Михайлова. Из характеристического
полинома подстановкой вместо аргумента
j образуется
функция комплексного аргумента
A()ej().
Критерий
формулируется так: Многочлен является
многочленом Гурвица (т.е. система
устойчива), если полное приращение фазы
при изменении частоты от нуля до
бесконечности равно n/2,
где n – степень полинома.
Амплитудно-фазовый критерий Найквиста. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой и формулируется так: Замкнутая система устойчива, если полное приращение аргумента 1+W(j) равно 2k/2, где k – число полюсов передаточной функции разомкнутой системы W(p), находящихся справа от мнимой оси комплексной плоскости.
Ограничения области применения.
Мы кратко рассмотрели удобный и эффективный метод исследования динамических систем. Это аналитический метод – численные решения мы получаем только для корней характеристического полинома и при вычислении реакции на входное воздействие, заданное в виде дискретной последовательности значений; этот факт показывает, что даже при использовании точных аналитических методов трудно избежать использования приближенных вычислений.
Следует помнить, что символический метод применим только к линейным системам (с сосредоточенными или распределенными параметрами, т.е. с обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями в частных производных), для которых справедлив принцип суперпозиции – реакция на сумму воздействий может быть вычислена как сумма реакций на отдельные воздействия.
Существенные трудности возникают и при анализе линейных (относительно функций) систем с переменными коэффициентами – приходится аппроксимировать зависимость коэффициентов от времени, например полиномами, что приводит к появлению производных в уравнениях для изображений со старшей степенью, равной порядку аппроксимирующего полинома, то есть к дифференциальным уравнениям и тоже с переменными коэффициентами – первоначальное намерение алгебраизовать задачу остается неосуществленным.
Кроме того, реальные системы, как правило, нелинейны – мы показали это на очень упрощенных моделях из области экологии и баллистики; наше обычное стремление привести модель системы к линейной структуре может дать решение, не очень близкое к решению первоначальной задачи. Поэтому разработка эффективных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений будет всегда актуальной вычислительной задачей.