3. Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим основные типы логарифмических уравнений.

І. Уравнения вида   , . 

По определению логарифма получаем, что f (x) = a^b. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a^b – это число.

ІІ. Уравнения вида , .

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0. Это следует из условия равенства этих функций.

Рассмотренный переход от уравнения к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием. Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.

ІІІ. Уравнения вида   ,

Аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению у которого ищутся все его различные корни (пусть таких корней ровно n - штук).

б) Решается совокупность уравнений:

Замечание. В процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не сужалась, − те корни, которые, возможно, будут получены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 4. Решите уравнение

Δ Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения:

Потенцируя по основанию 10, имеем:

Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только является корнем.

Ответ:

Пример 5. Решите уравнение

Δ

С помощью замены преобразованное уравнение примет вид:

которое равносильно уравнению

Ответ:

4. Показательные неравенства

Простейшими показательными неравенствами называются неравенства

При решении таких неравенств применяют свойства монотонности показательной и логарифмической функций: при эти функции являются монотонно возрастающими, а при - монотонно убывающими.

Рассмотрим, например, решение неравенства (1) , Воспользовавшись основным логарифмическим тождеством, перепишем неравенство в виде (2): , Так как показательная функция возрастает при и убывает при , то

при неравенство (2) ,

а при неравенство (2)

Тот же результат мы получим, если прологарифмируем обе части неравенства (1) по основанию , рассмотрев два случая и

Аналогично решаются неравенства

При решении более сложных неравенств также применяются свойства показательной и логарифмической функций.

Пример 6. Решите неравенство .

Δ так как

Ответ:

Пример 7. Решите неравенство

Δ Применим метод подстановки, полагая где

Таким образом, имеем систему неравенств:

или Учитывая, что прологарифмируем обе части неравенства по основанию Получим:

Ответ:

,

R

Если , то уравнение

2002

А3. Вычислите: .

1)

0

2)

3

3)

– 1

4)

log25

А5. Укажите промежуток которому принадлежит корень уравнения .

1)

[- 3; - 1)

2)

[- 1; 1)

3)

[1; 3)

4)

[3; 5)

А6. Решите неравенство .

1)

[0; 4)

2)

(- ¥; 0]

3)

(4; + ¥)

4)

(4; 6]

А7. Найдите область определения функции .

1)

(1,5; + ¥)

2)

[2; + ¥)

3)

[1,5; + ¥)

4)

[5; + ¥)

В7. Найдите наименьшее значение функции

Номер задания	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9	А10	А11	А12	А13
Номер ответа	3	2	1	4	2	1	3	4	4	3	1	3	2