4.4. Формулы суммы, разности и произведения тригонометрических функций

Основными формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций являются следующие:

При преобразованиях тригонометрических выражений также применяют следующие формулы преобразования произведения тригонометрических функций:

4.5. Формулы понижения степени тригонометрических функций

При преобразованиях тригонометрических выражений бывает необходимо понизить чётную степень функции. В этих случаях применяют формулы понижения степени:

_{Из этих формул следуют формулы половинного угла:}

_{Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получим:}

Пример 6. (теоретический) Доказать, что если , то

Δ Выразим , тогда по формулам приведения а также

по формулам синуса и косинуса суммы получаем:

_{Что и требовалось доказать.}

Учебная карта к занятию 7.

Задания уровня А

1. Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: а) 36°; б) 285°.

2. Перевести радианную меру угла в градусную: а) б)

3. Найдите значения выражений: а) ,

б)

4. Найдите значения тригонометрических функций, применив формулы сложения. а) ; б) ; в) .

Задания уровня В

2.1 Упростить выражение: а)

б)

2.2 Доказать тождество

а) ; б)

2.3 Проверить равенство

Задания уровня С

3.1 Парадокс: «Докажем», что 4=16.

Доказательство.

Как известно, при любых справедливо равенство _{следовательно, и вытекающие из него следующие равенства:}

_{Пусть x =π. Тогда cos x = - 1, sin x = 0 и из равенства (5) получим, что , или 4=16. Найдите ошибку в рассуждениях.}

Домашнее задание.

5. Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна:

а) 105°; б) 300°; в) 513°.

6. Перевести радианную меру угла в градусную: а) б)

7. Найдите значения выражений:

а) , б)

2.4 Упростить выражение:

а) б)

2.5 Доказать тождество: а)

б)

2.6 Проверить равенство

_{Ответы и указания к заданиям}

1.1 а) б) 1.2 а) 108°, б) 1.3 а) б)

1.4 а) б) в) 1.5 а) б) в)

1.6 а) 130°, б) 206.(6)°. 1.7 а) 0, б)

2.1 а) б)

2.2 а) Указание. Преобразовать левую часть тождества, воспользовавшись формулами двойного угла, а также заменить 1 на с целью свернуть в квадрат знаменатель дроби. Затем почленно разделить числитель и знаменатель дроби на и окончательно свернуть по формуле тангенса разности двух углов. б) Указание. Преобразовать числитель дроби, воспользовавшись формулами синуса суммы и разности. После упрощения разделить числитель почленно на знаменатель.

2.3 Указание. Можно воспользоваться формулами приведения, заменив, например, на а на затем дважды применить формулу произведения синуса на косинус и перемножить получившиеся выражения. Далее снова применить формулы приведения и понижения степени, учитывая, что и

2.4 а) б)

2.5 а) Указание. Сложить попарно и а затем привести дроби к общему знаменателю - Для этого нужно разложить на множители знаменатель второй дроби так, чтобы в нём присутствовал сомножитель

б) Указание. Воспользоваться формулами косинуса суммы и разности.

2.6 Указание. Воспользоваться дважды формулой произведения косинусов, перемножив сначала 2-ой и 3-й сомножители.

3.1 Комментарий. лишь тогда, когда

_{Если же cos x < 0, то равенство будет неверным, так как при этом его левая часть будет представлять собой арифметический квадратный корень, т. е. неотрицательное число, а правая часть будет числом отрицательным.}