4.1. Формулы приведения

O. 4.1. Формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α называются формулами приведения.

Запишем формулы приведения в виде таблицы.

Таблица 3

Заучивать эти формулы не нужно. Нужно лишь усвоить правило, по которому они записываются.

Правило: при вычислении тригонометрических функций углов

а) в правой части равенства ставят знак минус лишь в тех случаях, когда левая часть равенства является числом отрицательным (полагая, что - острый положительный угол).

б) если - чётное, то название функции в правой части равенства берётся то же, что и в левой части, а если - нечётное, то название функции в правой части равенства меняется на кофункцию. Например, синус заменяется на косинус, котангенс на тангенс и т. п.

Так, например,

1) является отрицательным числом, так как (т. е. угол находится в третьей четверти, где синус имеет отрицательный знак). Кроме того, - чётное число ( ), поэтому название функции синус не изменяется и окончательно получаем: .

2) Так как (т. е. угол находится в третьей четверти, где тангенс имеет положительный знак) и - нечётное число, поэтому название функции тангенс изменяется на котангенс.

Пример 4 Упростить выражение:

Δ Имеем:

_Ответ:

4.2. Формулы, связывающие функции одного и того же угла

В пункте 1 были определены элементарные тригонометрические функции произвольного угла и получены некоторые соотношения между ними:

_{Из этих формул получают следующие соотношения:}

_{Выразим cos α и sin α в зависимости от tg α:}

Отсюда

Из равенства

Отсюда

4.3. Формулы сложения и формулы двойного угла

При преобразованиях тригонометрических выражений широко используются следующие формулы сложения:

_{Из этих формул легко получить формулы двойного угла:}

Пример 5. Доказать тождество

Δ Воспользовавшись формулами приведения, получаем:

_{Пользуясь формулами сложения и приёмом умножения числителя и знаменателя дроби на общий множитель, получаем:}

_{Тогда левая часть тождества примет вид:}

_{Замечание. Проводя преобразования тригонометрического выражения необходимо проверять, являются ли они тождественными на области допустимых значений (ОДЗ) исходного выражения. Так в рассмотренном выше примере при преобразованиях котангенса числитель и знаменатель дроби умножили сначала на , а затем на}

Такие преобразования являются тождественными на ОДЗ

при и при