Развертка поверхности конуса

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор, у которого радиус равен длине образующей конуса, а дли­на дуги сектора равна длине окружности осно­вания конуса. Если радиус окружности осно­вания обозначить буквой R, а длину образую­щей боковой поверхности — L, то угол сектора а можно определить по формуле: а = 360°R/L.

На рис. 269, в показано построение развертки поверхности конуса. Сначала проводят дугу радиусом, равным длине образующей (L), которую берут с фронтальной или профильной проекции крайних образующих, потому что на эти плоскости проекций крайние образующие проецируются без искажения, так как они располагаются параллельно плоскостям проек­ций. Затем строят угол а, который определяют по приведенной выше формуле, получают сек­тор, являющийся развернутой боковой поверх­ностью конуса. К любой точке дуги сектора пристраивается основание конуса.

Развертку боковой поверхности конуса можно выполнить приближенно, разделив ок­ружность основания конуса на 12 равных частей и отложив по дуге радиуса 12 хорд. Далее построение ведут, как описано выше.

Построение конуса в аксонометрии

На рис. 269, б показано построение прямого кругового конуса в прямоугольной изометри­ческой проекции. Построение начинают с прове­дения центровых линий основания параллельно аксонометрическим осям Ох, Оу и оси вращения, параллельной оси Oz. На центровых линиях строят окружность основания, которая в изометрии изображается как эллипс. Для упроще­ния построения эллипс заменяют овалом, вы­полняя его способом, описанным в § 28. Затем от точки O₁ по оси вращения (параллельной оси Oz) откладывают высоту конуса, взятую с фронтальной или профильной проекции. Точка S будет вершиной конуса. Вершину конуса соединяют касательными с основанием.

Рис. 269

Построение точки, лежащей на поверхности конуса

Точка лежащая на боковой поверхности ко­нуса задана горизонтальной проекцией а, требуется построить ее фронтальную и профиль­ную проекции. Для этого через горизонтальные проекции вершины S и точки A (s и а) проводят образующую до пересечения с основанием ко­нуса (рис. 269, а; точка 5). Затем строят фронтальную проекцию этой образующей. С по­мощью линии проекционной связи определяют

фронтальную проекцию 5' точки 5. Соединив прямой точки s' и 5', получают Фронтальную проекцию образующей, на которой лежит точ­ка А. С горизонтальной проекции проводят линию проекционной связи до пересечения с построенной образующей. Точка пересечения будет фронтальной проекцией а' точки А. Про­фильную проекцию а" точки А строят с по­мощью линий проекционной связи, проведенных с горизонтальной и фронтальной проекции.

Точка В, лежащая на боковой поверхности конуса задана фронтальной проекцией b׳ как невидимая (рис. 269, а), требуется построить ее горизонтальную и профильную проекции.

В данном случае для построения проекции точки В используют вспомогательную окружность (параллель), проходящую через точку В.

На фронтальной проекции эта окружность изобразится отрезком, заключенным между крайними образующими, и будет проходить через фронтальную проекцию b' точки В. Построим горизонтальную проекцию этой ок­ружности. Радиусом, равным расстоянию от оси вращения (на фронтальной проекции) до крайней образующей, измеренному по отрезку, который проходит через точку b׳ проведем окружность на горизонтальной проекции. Опу­стив на эту окружность линию связи из точки b', получим две точки пересечения. Так как точка В на фронтальной проекции задана невидимой, на горизонтальной проекции ее проекция находится выше диаметра 1 2, т. е. на той части конуса, которая на фронтальной проекции невидимая.

На горизонтальной плоскости проекций точ­ка В будет видимой, т. к. при проецировании конуса на горизонтальную плоскость проекций боковая поверхность будет видимой.

Профильную проекцию b" точки В строят с помощью линий проекционной связи, проведен­ных с горизонтальной и фронтальной проек­ции. Здесь она будет видимой, так как лежит в левой части горизонтальной проекции конуса, а эта часть конуса на профильной проекции видимая.

Построение точек A и B в изометрической проекции (рис. 269, б) выполняют в следующей последовательности: строят вторичные горизон­тальные проекции этих точек и от них парал­лельно оси Oz откладывают расстояния, взя­тые с фронтальной или профильной проекции, от основания конуса до проекций этих точек.

Для построения точки Л на развертке (рис. 269, в) строят образующую, на которой лежит эта точка. Для этого на дугу сектора переносят хорду, в данном случае хорду 3 5. Если хорда большая, то ее делят пополам или на три части и переносят на развертку частями. Чем меньше хорда, тем точнее построение. Строящаяся точка 5₀ лежит между точками 3₀ и 2₀. Так как точка 5₀ ближе к точке Зо, производить построения следует от точки 3₀. Построенную на развертке точку 5₀ соединяют с точкой So (вершиной конической поверхности) прямой. Она будет образующей, на которой лежит точка A. Так как образующая, на кото­рой лежит точка A, расположена наклонно к плоскости V, то на фронтальную плоскость проекции она проецируется с искажением, поэтому чтобы найти расстояние от вершины S до точки Л, применяют способ вращения. Для этого образующую конуса S5 поворачивают в положение, параллельное плоскости V. При этом проекция образующей s'5' сольется с фронтальной проекцией s'2' крайней образующей. Точка A при вращении опишет дугу, которая на фронтальной проекции спроецируется в отрезок а'а׳₁. Итак, при вращении образующей S5 ее фронтальная проекция совпала с фронтальной проекцией образу­ющей S2. Расстояние от вершины S до точ­ки A будет равно расстоянию от точки s' до точки а׳₁.

Для построения точки В на развертке ра­диусом r, взятым с фронтальной проекции, из точки S₀ проводят дугу, на которой от точки ее пересечения с образующей S₀4₀ откладывают длину дуги, измеренную на гори­зонтальной проекции от центровой линии 3 4 до точки b.

Тор

Поверхность тора образуется при вра­щении окружности или ее части вокруг непод­вижной оси, расположенной в той же плоскости, что и окружность (рис. 270). На горизонталь­ной проекции тора крайней очерковой линией всегда будет экватор, на фронтальной проек­ции — фронтальный меридиан, на профильной проекции — профильный меридиан. Форма меридианов повторяет форму образующей. Построение точек на поверхности тора осуще­ствляется с помощью параллелей, которые проводят через заданную точку.

Если расстояние от оси вращения до центра образующей окружности больше радиуса этой окружности, то полученная поверхность назы­вается кольцом. На рис. 270 показаны элементы такой поверхности и две ортогональ­ные проекции с построенными на них проекци­ями точки А (а и а').

Если вращать часть окружности меньшую, чем ее половина, вращение происходит вокруг оси, совпадающей с хордой, которая отсекает часть окружности, то получится поверхность тора, показанная на рис. 271. На этом рисунке изображены элементы этой поверхности и две ортогональные проекции с построенными на них проекциями точки A (а и а').

Если вращать часть окружности большую, чем ее половина, то получится поверхность тора, показанная на рис. 272, вращение происходит вокруг оси, совпадающей с хордой, кото­рая отсекает часть окружности. На этом рисунке показаны элементы этой поверхности и две ортогональные проекции с построенными на них проекциями точек A и В.

Если половину окружности вращать вокруг оси, совпадающей с диаметром этой окружности, то получится сферическая повер­хность (или поверхность шара).

На рис. 273 показаны элементы этой поверх­ности. В ортогональных проекциях и в аксонометрии шар изображается как круг. В аксо­нометрии на поверхности шара показывают экватор и два меридиана (фронтальный и про­фильный). Сферическая поверхность представляет собой частный случай торовой поверхности.

Шар

Шар — геометрическое тело, полученное вращением полукруга вокруг диаметра, который одновременно является осью вращения (рис. 274, а). Каждая точка поверхности шара удалена от центра шара на одинаковое расстоя­ние. Если любую точку, принадлежащую по­верхности, соединить с центром шара, то этот отрезок будет радиусом шара (рис. 274, б). А если через центр шара прямой линией соеди­нить две точки, принадлежащие поверхности шара, то этот отрезок будет диаметром шара. Экватор и все меридианы шара имеют одинако­вые диаметры. Параллели же будут иметь разные диаметры. Чем ближе к экватору, тем больше диаметр параллели, и наоборот. На трех ортогональных проекциях диаметры очер­ковых окружностей одинаковые.