Пирамида

Пирамидой называется многогранник, в оснований которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющими общую вершину.

Элементы пирамиды показаны на рис. 259, а. Если все боковые грани имеют форму треуголь­ников с одной общей вершиной, то такая пира­мида называется полной пирамидой.

Если в основании пирамиды лежит правиль­ный многоугольник и ее высота проходит через центр основания, то такая пирамида на­зывается правильной пирамидой (рис. 259, а).

Во всех остальных случаях пирамида назы­вается неправильной пирамидой (рис. 259, б и в).

Ортогональные проекции правильной полной пирамиды

На рис. 260 показано проецирование пира­миды. Порядок выполнения ортогонального чертежа такой же, как и чертежа призмы.

Сначала проводят оси координат, осевые и центровые линии, а потом на центровых линиях строят горизонтальную проекцию пирамиды, начиная построение с многоугольника, лежа­щего в основании (рис. 261). Основание пира­миды р асположено в плоскости Н. Все боковые грани спроецируются в треугольники. Горизон­тальная проекция s вершины S совпадает с центром основания — точкой O₁. Таким об­разом, на горизонтальной проекции пирамиды боковые грани будут видимыми, но спроеци­руются они с искажением, так как распола­гаются наклонно относительно плоскости Н. Плоскость основания будет невидимой, так как закрыта боковыми гранями пирамиды.

При построении фронтальной проекции пи­рамиды ее основание как плоскость, перпенди­кулярная к плоскости К, спроецируется в от­резок, который совпадает с осью Ох, так как основание лежит в плоскости Н. Боковые грани пирамиды проецируются в треугольники с искажением, так как расположены наклонно относительно плоскости V. Грани 1S2 и 1S3 будут видимыми, а грань 2S3 — невидимой.

На профильную плоскость проекций осно­вание пирамиды тоже спроецируется в отрезок, лежащий на оси Оу. Проекции боковых гра­ней 1S2 и 1S3 на плоскости W совпадают, а грань 2S3 проецируется в прямую линию, так как она расположена перпендикулярно плос­кости W. Видимой гранью боковой поверхности будет грань 1S2.

Построение правильной полной пирамиды в аксонометрии

Построение пирамиды в изометрии (рис. 261) начинают с проведения аксонометрических осей Ох, Оу и Oz. Высоту пирамиды располагают на оси Oz. Вторичная проекция вершины будет находиться в точке O₁. От точки O₁ по оси Оу откладывают расстояние до вершины 1 основа­ния и до середины стороны основания 2 3, взятое с горизонтальной проекции пирамиды, где оно измеряется от горизонтальной про­екции s вершины S. Через середину стороны 2 3 проводят прямую линию параллельно оси Ох и на ней в обе стороны откладывают отрезки, равные половине стороны основания. Этот раз­мер берется с горизонтальной проекции осно­вания. От точки О₁ по оси Oz откладывают высоту пирамиды, которую берут с фронталь­ной или профильной проекции, где она изобра­жается без искажения, так как параллельна оси Oz. Видимой боковой гранью пирамиды будет ближняя грань 1S2. Две другие грани боковой поверхности и основание невидимые.

Развертка поверхности правильной полной пирамиды

Так как боковые ребра правильной пирами­ды равны между собой и все грани равнобед­ренные треугольники, то развертку боковой поверхности пирамиды начинают строить с про­ведения дуги радиусом, равным размеру ребра боковой поверхности пирамиды (рис. 261).

На фронтальную и горизонтальную плоскости проекций ребра пирамиды проецируются с искаже­нием, так как расположены наклонно относи­тельно плоскостей Н и V. На профильной плоскости проекций ребра S2 и S3 тоже про­ецируются с искажением, так как расположены наклонно к плоскости W_y а ребро S1 проеци­руется в натуральную величину, потому что располагается параллельно плоскости W.

Ра­диусом, равным длине ребра S1 (s"1"), описы­вают дугу. На ней от произвольно выбранной точки откладывают три хорды, равные стороне основания. Размер стороны, основания берут с горизонтальной проекции пирамиды. Затем для построения основания на развертке из точек 1₀ и 3₀ радиусом, равным стороне основания, проводят дуги до взаимного пересечения в точке 2₀.

Построение точки, лежащей на поверхности пирамиды

Точка А лежит на боковой поверхности пирамиды, задана ее профильная проекция (рис. 261). Требуется построить фронтальную и горизонтальную проекции этой точки, постро­ить ее на изометрическом изображении пи­рамиды и на развертке.

Поскольку боковая грань, на которой лежит точка A, располагается наклонно ко всем трем плоскостям проекций, то ни на одну из этих плоскостей она не спроецируется в линию, как это было у правильной пятиугольной призмы. Построить две проекции заданной точки можно только с помощью дополнительных построений. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в дан­ной плоскости. Поэтому в плоскости 1S2 про­водят прямую через точку А. Профильную проекцию этой прямой можно провести в любом направлении через проекцию а" точки А. На эпюре эта проекция проведена через проекцию s" вершины S до пересечения со стороной осно­вания 1"2" в точке 4". Для построения про­екций точки А нужно построить проекции до­полнительной прямой S 4 на плоскостях V и Н. Для построения ее горизонтальной проекции от точек 4" и а" с профильной проекции на горизонтальную проводят линии проекционной связи: из точки 4 — до пересечения со сторо­ной 1 2 в точке 4 из точки а" — до пересечения с построенной прямой s 4 в точке а, которая будет горизонтальной проекцией точки А. Имея две проекции точки A, фронтальную проекцию а׳ точки А находят с помощью линий проек­ционной связи.

При построении точки А в изометрической проекции необходимо сначала построить на основании пирамиды ее вторичную горизонталь­ную проекцию (рис. 261). Для этого на плос­кости Н определяются координаты Х_А= п и Y_A = m относительно горизонтальной проекции s вершины S. Эти размеры (п и m) откладывают в изометрии от точки O₁ (рис. 261), получают вторичную горизонтальную проекцию а₁ точ­ки A.

Через построенную точку а₁ параллельно оси Ог проводят линию, на которой отклады­вают расстояние h, взятое с фронтальной или профильной проекции. Полученная точка А и будет изображением точки А в изомет­рии.

Для построения точки А на развертке необходимо сначала построить на грани 1₀S₀2₀ дополнительную прямую S₀4₀ (рис. 261). Для этого на горизонтальной проекции изме­ряют расстояние от точки 1 до точки 4 и откладывают это расстояние на развертке от точки 1₀. Полученную точку 4₀ соединяют с вершиной S₀ прямой линией. Это будет вспомога­тельная прямая, лежащая в плоскости боковой грани 1₀S₀2₀. Затем на профильной проекции через точку а" проводят проекцию прямой, параллельной стороне основания 1 2, до пере­ сечения с ребром в точке 5". Эту точку строят на развертке. Для этого на профильной проек­ции измеряют расстояние от точки 1" до точки 5" и соответственно переносят на разверт­ку. Далее через точку 5₀ параллельно стороне основания 1₀2₀ проводят дополнительную прямую до пересечения с прямой 4₀S_o в точке А₀. Это и будет искомая точка.

Ортогональные проекции неправильной полной пирамиды

На рис. 262 изображена неправильная пол­ная треугольная пирамида. В основании пира­миды лежит неправильный треугольник, распо­ложенный в плоскости Н. Вершина S пирамиды расположена таким образом, что ее горизон­тальная проекция находится вне горизонталь­ной проекции основания. На плоскости Н боко­вые грани 2S3 и 1S3 будут видимыми, а грань 1S2 будет невидимой. На плоскости V боковые грани 1S3 и 3S2 будут видимыми, а грань 1S2 будет невидимой. Основание пирамиды проецируется в отрезок, лежащий на оси Ох, так как оно расположено в плоскости Н.

На профильной плоскости проекции основание пирамиды спроецируется в отрезок, совпав­ший с осью Оу. Боковые грани 1S2 и 1S3 будут видимыми, а грань 2S3 будет невиди­мой.