Вопросы для повторения

1. Как располагаются большие и малые оси эллипсов в прямоугольных аксонометрических проекциях?

2. Что называют вторичной проекцией?

3. На каких прямых линиях можно построить восемь точек, принадлежащих эллипсу, изображающему окруж­ность, расположенную в плоскостях V, Н и W, в прямо­угольной изометрической проекции?

4. Чему равна величина большой и малой оси эллипса в изометрии?

Глава VIII

Геометрические тела в ортогональных

И аксонометрических проекциях.

Развертка поверхностей геометрических тел

§29. Многогранники

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогран­ником. К наиболее часто используемым в практике многогранникам относятся призма и пирамида. Боковую поверхность призмы и пи­рамиды можно рассматривать как поверх­ность, образованную движением прямой линии (образующей) по замкнутой ломаной ли­нии (многоугольнику), которая называется направляющей (рис. 253, а и 254, а).

При образовании поверхности призмы обра­зующая скользит по направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению (рис. 253,6). При образовании поверхности пира­миды образующая при движении проходит через одну и ту же точку — вершину пирами­ды (рис. 254, б).

Если полученную призматическую поверх­ность пересечь двумя параллельными пло­скостями так, чтобы пересеклись все грани поверхности, то фигуры сечения будут осно­ваниями призмы, а часть поверхности, заключенная между ними, будет боковой поверхностью призмы (рис. 253, в).

Если на расстоянии от вершины полученно­го многогранного угла провести плоскость, пересекающую все грани угла, то фигура сечения будет основанием пирамиды. Отсеченная часть многогранного угла станет боковой поверхностью пирамиды (рис. 254, в), а вершина угла — вершиной пи­рамиды.

При проецировании многогранника на пло­скость чертежа необходимо уметь мысленно разделять его на составные части и правильно определять порядок их изображения. При про­ецировании многогранника его грани проеци­руются как плоскости, ребра — как прямые различного положения, а вершины — как точ­ки. У правильного полного многогранника сто­роны многоугольника основания равны между собой, также равны между собой и боковые ребра.

Призма

Призмой называется многогранник, осно­ваниями которого являются многоугольники, а боковыми гранями — четырехугольники (пря­моугольники или параллелограммы). Элементы призмы показаны на рис. 255, а.

Если основаниями призмы являются пра­вильные многоугольники, то такая призма на­зывается правильной (рис. 255, а).

Если основаниями призмы являются неправильные многоугольники, то такая призма называется неправильной (рис. 255,6). Если все боковые рёбра и грани призмы одинаковой высоты, а основания параллельны, то призма называется полной. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой (рис. 255, а, б, г). Если ребра наклонены к основанию, то призма называется наклонной (рис. 255, в). Если основаниями призмы являются прямо­угольники, то такая призма называется параллелепипедом (рис.255, г).

Ортогональные проекции призмы

Рассмотрим на примере правильной прямой пятиугольной призмы ортогональные проекции призмы. На рис. 256 показано проецирование призмы на три плоскости проекций.

Для построения ортогонального чертежа сначала проводят оси координат Ох, Оу и Oz (рис. 257). Затем проводят осевые и центровые линии и строят горизонтальную проекцию призмы. Для этого на плоскости Н строят пра­вильный пятиугольник. Поскольку призма пря­мая, её ребра и грани располагаются перпен­дикулярно к основаниям, и на горизонтальной проекции два основания сольются в одно, при­чем видимым будет верхнее основание. Все боковые грани спроецируются в отрезки пря­мых линий (1 2, 2 3 и т. д.), которые, в свою очередь, совпадут со сторонами основания. Бо­ковые ребра призмы спроецируются в точки как прямые, перпендикулярные к плоскости проекций, и совпадут с вершинами основания (точки 1, 2, 3, 4, 5). Итак, горизонтальная проекция данной призмы изобразилась в виде правильного пятиугольника, в который спроецировались не только два основания, но и бо­ковые грани и ребра. Так как основания приз­мы параллельны плоскости Н, то их горизон­тальная проекция изобразилась в натуральную величину.

Для построения фронтальной проекции призмы из горизонтальной проекции каждой вершины основания проводят линии проекци­онной связи параллельно оси О у до оси Ох (рис. 258). Таким образом, с горизонтальной проекции перенесены на фронтальную расстоя­ния между вершинами 1...5, измеренные парал­лельно Ох. Из этих точек (1'...5') параллельно оси Oz проводят направления пяти ребер боковой поверхности и на них откладывают высоту призмы. Так как верхнее основание призмы параллельно плоскости Н, а нижнее расположено в плоскости Н, то на фронталь­ную плоскость V эти основания спроецируются как отрезки, один из которых будет лежать на оси Ох (нижнее основание), а второй будет находиться на расстоянии от оси Ох, равном высоте призмы (верхнее основание). Боковые грани призмы спроецируются в виде прямо­угольников. Фронтальная проекция грани, па­раллельной плоскости V, будет проецироваться в натуральную величину. Остальные грани проецируются с искажением, так как расположены не параллельно плоскости V.

На фронтальной плоскости проекций види­мыми гранями будут грани с основаниями 1 2 и 1 5, а остальные будут невидимые.

Ребра, проведенные из точек 1, 2 и 5, будут видимыми, а из точек 3 и 4 —- невидимыми: 1 поэтому их проекции на плоскости V изобра­жают штриховой линией (рис. 258).

Для построения профильной проекции приз­мы надо провести линии проекционной связи от точек 1...5 горизонтальной проекции и высоту призмы перенести с фронтальной проекции. На профильной плоскости проекций грани с основаниями 1 2 и 2 3 будут видимыми, а с основаниями 1 5 и 5 4 — невидимыми. Грань с основанием 3 4 спроецируется в пря­мую линию, так как расположена перпенди­кулярно плоскости W. Профильные проекции ребер, проведенные из точек 3" и 4", совпадут. Таким образом, в одну прямую линию спроеци­руются два ребра и грань, расположенная между ними. На профильную плоскость проек­ций все грани призмы проецируются с иска­жением, так как ни одна грань не параллельна плоскости W.

Развертка поверхности призмы

При построении развертки поверхности лю­бого многогранника все его грани располагают в одной плоскости. В результате построения развертки получают плоскую фигуру, в кото­рой все грани многогранника сохраняют свою форму, натуральные размеры и последователь­ность расположения.

Рассмотрим построение развертки поверх­ности пятиугольной призмы (рис. 258).

Для построения развертки боковой поверх­ности проводят горизонтальную прямую ли­нию, на которой откладывают пять отрезков, каждый из которых равен ширине грани или стороне пятиугольного основания. Можно взять величину этого отрезка с ортогонального чертежа, где сторона основания проецируется без искажения. Получают точки 1₀...5₀.

Затем из этих точек вверх проводят перпендикуляры (ребра боковой поверхности призмы), на кото­рых откладывают высоту призмы, взятую с фронтальной или профильной проекции.

Далее строят два основания. Для этого че­рез середину стороны боковой грани 3₀ 4₀ (или любой другой грани) проводят центровую ли­нию, на которую с горизонтальной проекции переносят расстояние от стороны 3 4 до центра O₁ и вершины 1 основания. Строят точку О₀ и проводят вторую центровую линию основания. Для нахождения точек 2₀ и 5₀ на горизонталь­ной проекции точки 2 и 5 соединяют прямой линией, измеряют расстояние от точки пересе­чения этой линии с центровой до стороны 3 4 и переносят это расстояние на соответствую­щую центровую линию на развертке, проводят параллельно стороне Jo 4o прямую, на которую с горизонтальной проекции переносят расстоя­ния от осевой линии до точек 2 и 5. Получен­ные точки 1₀...5₀ соединяют отрезками, полу­чают основание. Таким же образом строят вто­рое основание.

Построение призмы в аксонометрии

Рассмотрим построение призмы в изометрии (рис. 258). Построение начинают с проведения аксонометрических осей, на которых строят нижнее основание. Для упрощения построения начало координат (точку О) располагают в центре основания призмы (точка O₁). Высота призмы совпадает с осью Оz, а центровые линии — с осями Ох и Оу. Сторона 3 4 на го­ризонтальной плоскости проекций параллельна оси Ох. В изометрии это сохранится. Сторона 3 4 будет находиться от точки O₁ на расстоя­нии, равном расстоянию от точки O₁ до сторо­ны 3 4 на горизонтальной плоскости проекций, в изометрии это расстояние откладывают по оси Оу. Затем на плоскости H по центровой линии измеряют расстояние от точки O₁ до прямой, соединяющей вершины 2 и 5, и соот­ветственно переносят его в изометрию. Через отложенную на центровой линии точку про­водят прямую параллельно оси Ох и на ней откладывают расстояния между вершинами 2 и 5, взятые с горизонтальной проекции. Вер­шина 1 основания лежит па центровой линии, параллельной оси Оу. В изометрии от точки O₁ по соответствующей центровой линии откла­дывают расстояние до вершины 1, взятое с горизонтальной проекции. Полученные точки (вершины углов) соединяют отрезками. Для построения боковых граней призмы из каждой вершины нижнего основания параллельно оси Oz проводят прямые, на которых откладывают высоту призмы, взятую с фронтальной или профильной проекций. Полученные точки сое­диняют отрезками и получают верхнее осно­вание.

Построение тонки, лежащей на поверхности призмы

Точка, лежащая на боковой грани призмы, задана одной проекцией на ортогональном чер­теже, требуется построить две другие ее про­екции. Сначала строят проекцию точки на той плоскости проекций, где грань, на которой ле­жит заданная точка, проецируется в линию. Рассмотрим это на примере точки А (рис. 258), которая задана проекцией а'. Так как на пло­скости V грань, на которой лежит точка А, невидимая, обозначение точки а' взято в скоб­ки. На плоскость И эта грань проецируется в отрезок, совпадающий со стороной основа­ния 2 3.

Из точки а' проводят вниз линию проекционной связи до пересечения с отрез­ком 2 3, получают точку а — горизонтальную проекцию точки А.

Для нахождения профильной проекции точ­ки А проводят линии проекционной связи от горизонтальной и фронтальной проекций (точ­ки а и а') до их взаимного пересечения на плоскости W_y получают точку а", которая и будет искомой профильной проекцией точки А.

Для нахождения точки А в изометрии постро­ение начинают с нахождения вторичной гори­зонтальной проекции, т. е. строят вторичную проекцию на стороне 2 3. На плоскости Н через горизонтальную проекцию а точки А парал­лельно оси Ох проводят дополнительную пря­мую линию, чтобы определить расстояние от точки а до центровой линии основания, в данном случае оно равно n. В изометрии параллельно оси Ох проводят дополнительную прямую на

расстоянии п от центровой линии, параллель­ной оси Ох. В пересечении этой линии и отрезка 2 3 получают точку а. Так как точка А лежит на какой-то высоте от нижнего основания, то от точки а параллельно оси Oz проводят прямую линию и на ней от точки а откладывают от­резок /г, взятый с фронтальной (или профиль­ной) проекции. Полученная точка и будет искомой точкой А.

Чтобы построить точку А на развертке, на горизонтальной проекции измеряют расстояние от точки 2 до точки а и откладывают его на развертке от точки 2₀ на стороне 2₀ 3₀, находят точку а₀. От точки а₀ вверх, параллельно реб­рам, проводят прямую, на которой, отложив расстояние A, взятое с фронтальной (или про­фильной) проекции, получают точку А₀.