9. Роль математики в физике

Математика играет исключительно важную роль в физике. Математика дает самую высокую степень обобщения знаний. Благодаря этому она позволяет выразить законы физики в точной лаконичной форме. Физические законы, выраженные формулами и графиками, показывают вид функциональной зависимости величин, дают самую точную характеристику этой зависимости. Связь величин, выраженная математической формулой, позволяет получать теоретические выводы, которые после интерпретации, истолкования и выяснения смысла дают новые «выводные» знания. Путем преобразования математических выражений можно делать строгие логические выводы, на основе которых можно до опыта объяснять и предсказывать новые явления. Формулу, полученную экспериментально, приняв за аксиому, можно преобразовывать и получать следствия, которые могут служить для предвидения и объяснения новых явлений. Например, из экспериментального установления прямой пропорциональной зависимости между модулем силы упругой деформации F и самой деформацией х следует, что упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией . Если изготовить пружинный пистолет, то заранее можно рассчитать, например, с какой скоростью вылетит из него шарик при выстреле.

Преобразование формул, выражающих эмпирические законы, и интерпретация полученных выражений нередко приводит к теоретическим открытиям. Например, исходя из закона движения планет, открытого Кеплером, Ньютон выдвинул гипотезу, согласно которой сила, удерживающая Луну на ее орбите, и сила, заставляющая падать камень на поверхность Земли с ускорением свободного падения, – это силы одной природы – силы гравитационного притяжения. Расчеты подтвердили правильность этого предположения. Так был открыт закон всемирного тяготения.

По графику функции, которая является математическим выражением закона, часто можно интерпретировать, объяснить найденную зависимость величин. Например, зависимость координаты х от времени t при равномерном движении прямо пропорциональная, линейная. Следовательно, графиком, выражающим эту зависимость, является наклонная прямая линия. Наклон графика, определяемый выражением , характеризует быстроту изменения функции х по отношению к изменению аргумента t. В частности, при равномерном движении угол наклона графика постоянен и равен модулю скорости движения: . Аналогично по наклону графика скорости определяется модуль ускорения: .

В некоторых случаях физическую величину можно вычислить по площади, ограниченной графиком, например, пройденный путь по графику скорости равномерного движения, потенциальную энергию пружины по ее деформации и др.

10. Приближенные измерения и вычисления

Во всех случаях, когда это возможно, измерения проводятся при помощи измерительных приборов. При этом следует учитывать, что все измерения и, следовательно, последующие вычисления в физике содержат погрешность. При измерении какой-либо величины прибором можно считать, что в первом приближении погрешность не превышает цену деления шкалы прибора. Округлив показание прибора (с недостатком или с избытком), получим результат в виде целого числа или десятичной дроби с определенным числом значащих цифр. Значащими цифрами числа являются цифры, начиная с первой ненулевой цифры слева, а также справа, если они не стоят взамен неизвестных или отброшенных.

Приведем несколько примеров.

В числе 385 имеется три значащих цифры. В числе 32,02 – четыре значащих цифры. В числе 0,016 – две значащих цифры. В числе 3·10² – одна значащая цифра. В числе 3,0·10² – две значащие цифры. В числе 3,00·10² – три значащие цифры. В числе 2,00 – три значащих цифры. Запись числа в двух последних случаях означает, что измерения сделаны с погрешностью, которая не превышает 0,005.

При изменении записи числа 3,·10² получили 300, здесь одна значащая цифра.

Чем больше значащих цифр, полученных при измерении, тем ближе полученный результат к истинному значению измеряемой величины, тем он точнее. Заметим, что самые точные измерения в физике делаются при определении физических констант (например, скорости света). При этом в лучших случаях измерений получены двенадцать значащих цифр. В обычных научных лабораторных исследованиях чаще всего довольствуются получением трех значащих цифр. В школьных лабораторных условиях чаще всего удается получить результаты с двумя значащими цифрами.

На основании происхождения числа можно выделить точные и приближенные числа. К точным, например, относятся коэффициенты, числа, полученные присчете, переводные множители. К приближенным – измеренные величины, большинство табличных значений тригонометрических функций, коней, некоторые результаты счета предметов (численность жителей города).

В записи числа можно выделить верные и сомнительные цифры. Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда, то все значащие цифры этого числа верные.

Пример 1. При измерении линейкой с ценой деления 1 мм длины стержня получили результат 56 мм. Абсолютная погрешность измерения составляет 0,5 мм. Значит длина стержня (56 ± 0,5) мм. Единица последнего разряда – 1 мм, абсолютная погрешность меньше 0,5 мм – обе цифры числа верные.

Пример 2. При измерении объема жидкости мензуркой получили результат (120 ± 5) мл. Первые две цифры числа верные – абсолютная погрешность не превышает единицы их разрядов. Про последнюю – 0 – говорят сомнительная цифра.

Понятно, что при различных действиях над числами с различным числом значащих цифр результат вычислений не может содержать больше значащих цифр, чем исходные числа с наименьшим числом значащих цифр. Поэтому при действиях над значащими цифрами пользуются следующими правилами.

1) Сложение и вычитание двух значащих цифр производится только в тех разрядах, которые присутствуют в обоих числах.

Примеры:

385 – 0,01 = 385;

32,02 – 0,01 = 32,01;

395 + 5·10² = 900;

3,00·10² – 3 = 297.

2) При умножении, делении и возведении в степень чисел сначала производятся действия над всеми числами, а потом результат округляется до наименьшего числа значащих цифр, которые содержатся в сомножителях.

Примеры:

5,1 · 7,3 = 37;

32,02 · 0,01 = 0,3;

395 : 32,02 = 12,3.