3 Варианты исходных данных:

1. (1, 32.1); (1, 29.5); (1, 30.5); (2, 110.9); (2, 110.5); (3, 272.9); (3, 273.1); (3, 273.3); (4, 560.5); (5, 999.1); (5, 996.9); (6, 1627.3); (6, 1629.1); (6, 1630.1); (7, 2482.7); (8, 3597.1); (9, 5004.7); (9, 5006.7); (10, 6741.9); (10, 6743.5).

2. (1, –49.2); (1, –49.0); (1, –50.0); (2, –110.7); (2, –110.3); (3, –210.0); (3, –208.8); (3, –208.0); (4, –349.3); (5, –541.6); (5, –543.2); (6, –799.3); (6, –801.3); (6, –800.9); (7, –1128.2); (8, –1542.7); (9, –2045.4); (9, –2045.8); (10, –2648.9); (10, –2651.9).

3. (1, –7.1); (1, –6.3); (1, –5.3); (2, 32.2); (2, 29.8); (3, 111.5); (3, 111.1); (3, 112.9); (4, 244.8); (5, 442.5); (5, 442.5); (6, 712.8); (6, 713.8); (6, 715.2); (7, 1073.5); (8, 1525.4); (9, 2090.1); (9, 2088.5); (10, 2768.4); (10, 2768.6).

4. (1, –33.1); (1, –33.3); (1, –32.5); (2, –103.4); (2, –104.4); (3, –215.9); (3, –212.7); (3, –215.1); (4, –364.6); (5, –551.9); (5, –552.7); (6, –779.4); (6, –780.6); (6, –781.6); (7, –1047.5); (8, –1353.8); (9, –1696.1); (9, –1695.5); (10, –2078.4); (10, –2081.2).

5. (1, –2.6); (1, –3.0); (1, –4.6); (2, –49.0); (2, –50.4); (3, –132.0); (3, –132.6); (3, –132.0); (4, –262.0); (5, –445.6); (5, –445.6); (6, –696.2); (6, –696.6); (6, –698.6); (7, –1025.0); (8, –1438.4); (9, –1946.0); (9, –1944.6); (10, –2554.6); (10, –2554.4).

6. (1, 1.7); (1, 3.3); (1, 2.7); (2, –54.9); (2, –53.9); (3, –216.3); (3, –216.9); (3, –216.7); (4, –525.3); (5, –1017.1); (5, –1017.1); (6, –1730.5); (6, –1729.7); (6, –1730.5); (7, –2710.9); (8, –3993.7); (9, –5619.3); (9, –5618.5); (10, –7625.7); (10, –7624.5).

4 Содержание отчета

Отчет должен содержать:

– общий вид функции нелинейной регрессии, метод получения значений ее коэффициентов;

– вид и коэффициенты трех наиболее подходящих функций, их графики;

– последовательность команд для получения значения теоретического корреляционного отношения для каждой из трех функций и полученные значения;

– выводы на основе анализа полученных значений теоретического корреляционного отношения.

Лабораторная работа № 4 Тема: получение коэффициентов множественной линейной регрессии и вычисление погрешности

Цель работы. Получение навыков построения линейной модели для множественной зависимости по данным экспериментов.

1 Краткие сведения из теории

Множественной регрессией называется взаимосвязь трех и более переменных, или влияние двух и более аргументов на функцию

.

Для простоты рассмотрим случай, когда ищется зависимость y от двух аргументов x ₁ и x ₂ . Такую зависимость графически можно представить в трехмерном пространстве {у, x ₁ , x ₂} Совокупность всех т точек представляет собой корреляционное пространство. Задача определения зависимости у от x₁ и x₂ состоит в том, чтобы подобрать такую плоскость, которая наилучшим, в смысле принципа наименьших квадратов, образом вписалась бы в данное корреляционное пространство. Зависимость ищется в виде:

.

Расстояние от точек корреляционного пространства до плоскости определяется выражением:

.

Требуется найти значения коэффициентов a, b ₁ и b ₂.

Продифференцировав функцию суммы квадратов отклонений по коэффициентам a, b₁ и b₂ и приравняв производные к нулю, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(4.1)

Решение системы уравнений относительно коэффициентов a, b₁ и b₂, позволяет определить их численные значения. Величины y, x₁, x₁²,  yx₁, y x₂, x₂, x₂², x₁ x₂ ^.находятся непосредственно по данным измерений.

Таким образом, найденное уравнение регрессии описывает совместное влияние x ₁ и x₂ на функцию у. Коэффициенты a, b₁ и b₂ при этом имеют следующий математический смысл.

Коэффициент а равен значению функции у при нулевых значениях аргументов x₁ и x₂. В геометрической интерпретации он соответствует ординате точки пересечения плоскости регрессии с осью y.

Коэффициент b₁ равен изменению функции у при изменении первого аргумента х₁ на единицу при неизменном втором аргументе x₂. Аналогично, коэффициент регрессии b₂ равен изменению функции у при изменении второго аргумента x ₂ на единицу при неизменном первом аргументе x ₁.

Из уравнения множественной линейной регрессии могут быть получены уравнения частной регрессии аргументов x₁ и x₂ на функцию у:

; ( 4.2 )

. ( 4.3 )

При этом угловые коэффициенты регрессии b ₁ и b ₂ сохраняют те же числовые значения, что и в уравнении множественной регрессии. Свободные члены уравнений для y можно подсчитать следующим образом:

; ( 4.4 )

. ( 4.5 )

где а— свободный член в уравнении множественной регрессии ;

X _1, X ₂—средние значения соответствующих аргументов.

Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит коэффициент множественной корреляции R, определяемый по формуле:

. (4.6)

Величина коэффициента множественной корреляции всегда положительна и может меняться от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при функциональной связи). С помощью коэффициента множественной корреляции оценивают совместное влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет аргументов.