3.2 Задание

Получить в аналитической форме и вычислить значения коэффициентов парной линейной регрессии с помощью МНК для следующих рядов данных экспериментов (первое число в скобке – входное значение x, второе – соответствующее ему значение y).

3.3 Варианты исходных данных

1 (1, 9.8); (1, 9.6); (1,10.6); (2,11.8); (2,13.0); (3,15.4); (3,13.8); (3,12.4); (4,15.4); (5,19.2); (5,18.2); (6,19.4); (6,18.6); (6,18.8); (7,22.0); (8,23.6); (9,25.4); (9,26.0); (10,26.8); (10,26.4).

2 (1, 7.8); (1, 7.0); (1, 7.6); (2,14.2); (2,13.6); (3,20.6); (3,17.4); (3,20.6); (4,25.0); (5,30.6); (5,31.4); (6,36.8); (6,38.8); (6,38.8); (7,44.0); (8,48.6); (9,54.4); (9,54.0); (10,62.4); (10,60.2).

3 (1, 6.6); (1, 6.8); (1, 7.4); (2,11.8); (2,11.8); (3,13.0); (3,14.2); (3,13.4); (4,14.8); (5,18.8); (5,20.2); (6,22.0); (6,20.4); (6,21.4); (7,26.6); (8,27.6); (9,32.8); (9,32.6); (10,35.2); (10,34.0).

4 (1,14.0); (1,12.6); (1,13.8); (2,20.8); (2,18.6); (3,22.2); (3,24.4); (3,23.8); (4,27.6); (5,32.2); (5,33.2); (6,40.0); (6,40.8); (6,40.4); (7,44.4); (8,48.6); (9,52.2); (9,52.6); (10,57.6); (10,60.0).

5 (1,19.4); (1,18.6); (1,19.6); (2,26.8); (2,27.8); (3,34.8); (3,35.8); (3,34.2); (4,41.4); (5,51.2); (5,50.4); (6,58.8); (6,58.6); (6,59.0); (7,66.6); (8,75.8); (9,81.6); (9,84.6); (10,90.4); (10,92.4).

6 (1,10.0); (1, 7.8); (1, 8.2); (2,16.6); (2,14.4); (3,21.2); (3,23.4); (3,22.2); (4,29.2); (5,36.0); (5,37.0); (6,44.2); (6,43.8); (6,45.0); (7,51.8); (8,58.6); (9,63.2); (9,63.8); (10,70.4); (10,72.0);

3.4 Построение графика линейной функции по данным наблюдения, полученной мнк

График линейной функции, полученной МНК, можно получить с помощью функции lsline. Для этого сначала нужно построить график, соответствующий рядам данных экспериментов (для вывода точек корреляционного поля используются «+», для вывода полученной прямой – «*», системная прямая выведется синей линией), затем воспользоваться этой функцией. Например:

>>plot(x,y,’+’, x, a+b*x,’*’); lsline

Задание.

На один график выведите ряды данных эксперимента, полученную вами прямую и прямую, полученную встроенными средствами MATLAB. Сравните результаты.

3.5 Оценка погрешности парной линейной регрессии

После построения модели необходимо выполнить проверку ее адекватности.

Оценка адекватности модели производится на основании анализа значения коэффициента корреляции r, вычисляемого по формуле:

, (2.9)

где

; (2.10)

. (2.11)

Его величина может изменяться в пределах отрезка от –1 до 1. Чем ближе к единице модуль значения коэффициента корреляции, тем теснее линейная связь между х и у. При полном отсутствии связи r = 0, при |r|<0.5 гипотеза о наличии линейной связи отвергается, и линейная модель признается неадекватной.

Что касается диапазона значений модуля коэффициента от 0.5 до 1, то минимальный предел значения модуля r, при котором модель признается адекватной, определяется требованиями к точности модели – чем выше требования, тем ближе этот предел к единице.

Помимо оценки тесноты связи, коэффициент корреляции позволяет судить о характере зависимости между величинами х и у: если r > 0, между х и у имеет место положительная корреляционная связь, т. е. с ростом параметра х увеличивается параметр у; если r < 0, между х и у имеет место отрицательная связь.

Мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение), которое рассчитывается по формуле:

. (2.12)

Задание. Вычислить значения всех приведенных параметров, оценить достоверность полученных коэффициентов.