Основные комбинаторные алгоритмы Страница 5 из 5

Оглавление

Лекция 20. Алгоритмы генерирования перестановок, множества всех подмножеств, к-элементных подмножеств множества, разбиения множеств. 1

Проблема представления 1

Классы алгоритмов 2

Анализ алгоритмов 3

Алгоритм размещения без повторений 3

Алгоритм перестановки 4

Алгоритм сочетания 4

Контрольные вопросы 4

Лекция 20. Алгоритмы генерирования перестановок, множества всех подмножеств, к-элементных подмножеств множества, разбиения множеств.

Комбинаторные алгоритмы с их акцентом на разработку, анализ и реализацию практических алгоритмов являются продуктом века вычислительных машин.

Предмет теории комбинаторных алгоритмов - вычисления на дискретных математических структурах. Это новое направление исследований. Лишь в последние несколько лет из наборов искусных приемов и разрозненных алгоритмов сформировалась система знаний о разработке, реализации и анализе алгоритмов.

Комбинаторные вычисления развиваются в следующем направлении:

• интенсивно изобретаются новые алгоритмы;

• происходит быстрый прогресс (главным образом в математическом плане) в понимании алгоритмов, их разработки и анализа;

• происходит переход от изучения отдельных алгоритмов к исследованию свойств, присущих классам алгоритмов.

В отличие от некоторых других разделов математики, комбинаторные вычисления не имеют "ядра", то есть некоторого количества "фундаментальных теорем", составляющих суть предмета, из которых выводится большинство результатов. Сначала может показаться, что в целом эта область состоит из наборов специальных методов и хитрых приемов. Однако после того как было исследовано достаточно много комбинаторных алгоритмов стали вырисовываться некоторые общие принципы. Именно эти принципы делают комбинаторные вычисления связной областью знаний и позволяют изложить ее в систематизированном виде

Проблема представления

Чрезвычайно важной проблемой в комбинаторных вычислениях является задача эффективного представления объектов, подлежащих обработке. Она возникает потому, что обычно имеется много возможных способов представления сложных объектов более простыми структурами, которые можно заложить в языки программирования, но не все такие представления в одинаковой степени эффективны с точки зрения времени и памяти. Более того, идеальное представление зависит от вида производимых операций.

Приведем примеры, в которых задаются весьма специфические операции над целыми. Целые определяются как данные простейшего типа почти во всех вычислительных устройствах и языках программирования. Таким образом, проблема представления, как правило, не возникает. Имеющееся представление почти всегда наилучшее. Однако существуют некоторые заслуживающие внимания исключения, когда выгодно или даже необходимо использовать представление целых в вычислительном устройстве иным способом. Эти исключения появляются в следующих случаях:

1. Необходимы целые, больше имеющихся непосредственно в аппаратном оборудовании.

2. Необходимы только небольшие целые, и требуется сэкономить память, упаковывая их по несколько в одну ячейку.

3. Действия с целыми производятся не общепринятыми арифметическими операциями.

4. Целые используются для представления других типов объектов, и необходимо иметь возможность легко обращать целое в соответствующий ему объект и обратно.

Проблемы кодов, сохраняющих разности, касаются случаев 2 и 3. В задачах распознавания образов и классификации для решения вопроса, будут ли два объекта X,Y эквивалентными, стандартной является следующая процедура. X,Y представляются векторами признаков (х₁, x₂,…,x_f), (y₁,y₂,…,y_f) соответственно, где каждая компонента означает признак объекта, выраженный целым значением. Считается, что X,Y эквиваленты тогда и только тогда, если где t — целое, называемое порогом.