5.3. Использование комплексных чисел для расчёта электрических цепей при синусоидально изменяющихся напряжениях, токах и эдс

Если принять модуль и аргумент комплексного числа равными амплитуде и фазе тока, напряжения и ЭДС, то получим комплексы мгновенных значений этих переменных.

i = I_m e^{j(ωt +Ψi)} ; u = U_me^{j(ω t + Ψu)} ; e = E_me^{j(ω t + Ψe) .}

j

Обратите внимание на то, что при увеличении времени t вектор тока вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω. А проекция этого вектора на мнимую ось будет полностью соответствовать мгновенному значению тока.

i = I_m sin(ωt +Ψ_i)

Рис. 4.2. Вектор тока на

комплексной плоскости

Аналогично проекции векторов напряжения и ЭДС на мнимую ось будут соответствовать мгновенным значениям этих величин.

u = U_m sin(ωt +Ψ_u); e = E_m sin(ωt +Ψ_e).

То есть для расчёта электрических цепей при синусоидальных токах напряжениях и ЭДС можно использовать комплексные числа, математические операции с которыми выполняются достаточно просто. А для нахождения действительного (синусоидального) изменения рассчитанных с помощью комплексных чисел величин во времени необходимо взять мнимую часть результатов расчёта.

Для расчёта используются комплексы амплитудного значения.

Ì

Ψe

_m = I_m e^jΨi ; Ù_m = U_me^jΨu ; È_m = E_me^{j Ψe} ,

где Ì_m, Ù_m, È_m – комплексы амплитудного значения тока, напряжения и ЭДС,

I_m, U_m, E_m, Ψ_i, Ψ_u, Ψ_e – амплитудное значение тока, напряжения и ЭДС и их начальные фазы.

Однако чаще для расчёта цепей и построения диаграмм (рис. 5.3) используются комплексы действующего напряжения, тока и ЭДС.

Ì

Ψe

= I e^jΨi ; Ù = Ue^jΨu ; È = Ee^{j Ψe} ,

где Ì, Ù, È – комплексы действующего значения тока, напряжения и ЭДС,

I, U, E, Ψ_i, Ψ_u, Ψ_e – действующие значения тока, напряжения и ЭДС и их начальные фазы.

Рис. 5.3. Векторы ЭДС, напряжения

и тока на комплексной плоскости

5.4 Элементы линейных электрических цепей и их характеристики

при постоянном и переменном токе.

5.4.1 Виды источников электрической энергии

Источники электрической энергии – это активные элементы электрических цепей, преобразующие механическую, химическую, тепловую или световую энергию в электрическую. Они бывают постоянного и переменного тока. Однако их характеристики аналогичны, поэтому анализ параметров источников проведём на основе источников постоянного тока.

Идеальный источник напряжения

У идеальных источников напряжения (источников ЭДС), напряжение на зажимах не зависит от величины потребляемого от них тока (рис. 5.4.1).

U = const

В

Рис. 5.4.1 Обозначение и ВАХ идеального

источника напряжения

се источники имеют характеризующие их основные параметры: напряжение холостого хода (U_хх ), ток короткого замыкания (I_кз) и внутреннее сопротивление (для источника постоянного тока R_вн). U_хх – это напряжение при токе равном нулю. У идеального источника напряжения при любом токе напряжение равно U_хх. I_кз – это ток при напряжении равном нулю. У идеального источника напряжения он равен бесконечности (I_кз = ∞). Внутреннее сопротивление определяется как отношение изменения напряжения к изменению тока. Поскольку напряжение у идеального источника напряжения неизменно при любом токе (ΔU = 0), то его внутреннее сопротивление равно нулю.

R_вн = = 0

При положительном напряжении и токе источник отдаёт энергию с электрическую цепь и работает в режиме генератора (Г). При обратном направлении тока – источник принимает энергию из цепи и работает в режиме приёмника (П).