18. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1 найдите расстояние от точки до прямой .

19. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1 найдите расстояние от точки до прямой .

20. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1 найдите расстояние от точки до прямой .

21. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1 найдите расстояние от точки до прямой .

22. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 6. Найдите расстояние между точками и .

23. В основании прямой призмы лежит треугольник , в котором , , . Высота призмы равна . Найдите , где – середина , а – середина .

24. Точка лежит на ребре куба . , точка является точкой пересечения диагоналей грани . Найдите косинус угла между прямой и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины .

25. В кубе точка лежит на ребре , точка лежит на отрезке , длина ребра . Найдите косинус угла между прямой и диагональю куба, которая выходит из вершины , если , .

26. На ребре куба взята точка – середина этого ребра. Найдите синус угла между прямой и плоскостью .

27. На ребре куба взята точка – середина этого ребра. Найдите синус угла между прямой и плоскостью .

28. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

29. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 3. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

30. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка так, что . Найдите угол между плоскостями и .

31. В правильной треугольной призме стороны основания равны 5, боковые ребра равны 2, точка – середина ребра . Найдите угол между плоскостями и .

32. В правильной треугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка – середина ребра . Найдите угол между плоскостями и .

33. В кубе найдите угол между плоскостями и .

34. В кубе найдите угол между плоскостями и

35. В кубе найдите угол между плоскостью и плоскостью, проходящей через середины его ребер ; ; ; ; ; .

36. В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер: ; ; . Найдите угол между плоскостями и .

37. В прямоугольном параллелепипеде известны длины ребер: ; ; . Найдите угол между плоскостями и .

38. Грань прямоугольного параллелепипеда является квадратом со стороной 2, а диагональ параллелепипеда равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

39. Грань прямоугольного параллелепипеда является квадратом со стороной 3, а диагональ параллелепипеда равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

40. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 2 найдите площадь сечения, проходящего через вершины ; ; и .

41. В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 2 найдите площадь сечения, проходящего через вершины ; ; и .

42. В основании прямой призмы лежит ромб . , , . Найдите объем призмы.

43. В основании прямой призмы лежит ромб . , , . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пирамида

Часть В

18. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2, объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

19. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 9, объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

20. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что , а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

21. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

22. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

23. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 12 и наклонено к плоскости основания под углом . Найдите сторону основания пирамиды.

24. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен . Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей боковой грани.

25. Боковая грань правильной треугольной пирамиды наклонена к плоскости основания пирамиды под углом и имеет площадь, равную 96. Найдите высоту пирамиды.

26. В треугольной пирамиде , в основании которой лежит равнобедренный треугольник с прямым углом , ребро перпендикулярно плоскости основания, а ребра и образуют угол в . Найдите длину ребра , если .

27. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием угол, образованный ребрами и , равен . Найдите высоту пирамиды если сторона основания равна .

28. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания , , . Найдите боковое ребро .

29. В правильной треугольной пирамиде точка –центр основания , – вершина, сторона основания равна 6, апофема боковой грани равна . Найдите высоту пирамиды.

30. Угол между высотой и боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды равен . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

31. У треугольной пирамиды грань – правильный треугольник. Высота пирамиды, проведенная из вершины , составляет с плоскостью грани угол, равный . Найдите градусную меру угла между этой высотой и ребром .

32. В правильной треугольной пирамиде ребра и разделены точками и соответственно, в отношении 2:1, считая от вершины . Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения . Ответ выразите в градусах.

33. В правильной треугольной пирамиде ребра и разделены точками и соответственно, в отношении 2:1, считая от вершины . Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения . Ответ выразите в градусах.

34. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

35. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна , высота пирамиды в 2 раза меньше стороны основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину и середины противоположных сторон основания.

36. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 24, высота пирамиды равна 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину и диагональ основания.

37. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания равна 15. Найдите объем пирамиды, если сторона ее основания равна 4.

38. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 5, сторона основания равна 6. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Часть С

18. В правильной четырехугольной пирамиде с основанием проведено сечение через середины ребер и и вершину . Найдите расстояние от плоскости этого сечения до середины высоты пирамиды, если все ребра пирамиды равны 8.

19. В правильной треугольной пирамиде с основанием проведено сечение через вершину и середины ребер и . Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани , если все ребра пирамиды равны 6.

20. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 найдите синус угла между прямыми и , где – середина ребра , – середина ребра .

21. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 найдите угол между прямыми и .

22. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Точка – середина бокового ребра . Найдите угол наклона прямой к плоскости основания пирамиды.

23. В правильной четырехугольной пирамиде высота в два раза меньше диагонали основания. Точка делит боковое ребро в отношении , считая от вершины . Найдите угол наклона прямой к плоскости основания пирамиды.

24. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостью и плоскостью, проходящей через точку , перпендикулярно прямой .

25. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями и , где – середина ребра .

26. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник . Боковые грани пирамиды равновелики. Найдите максимально возможный объем пирамиды , если ребро равно 1.

27. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник . Боковые грани пирамиды равновелики. Найдите объем пирамиды , если ребро , а ребро .

Прочие многогранники

Часть В

18. Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

19. Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

20. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы прямые.

21. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы прямые.

Часть С

18. Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые, проходящее через вершины ; ; и . Найдите его площадь.

19. 

20. Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые, проходящее через вершины ; ; и . Найдите его площадь.

Цилиндр

Часть В

18. Высота цилиндра равна 12, диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол в . Найдите радиус основания. .

19. Диаметр основания цилиндра равен , диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол . Найдите образующую цилиндра.

20. Точки и расположены на окружностях верхнего и нижнего основания цилиндра, радиус основания которого равен 2, а высота 3. Длина отрезка равна 4. Через отрезок проведена плоскость, параллельная образующей цилиндра. Найдите расстояние от оси цилиндра до этой плоскости.

21. Радиус основания цилиндра равен 5. В цилиндре проведено сечение плоскостью, параллельной его основаниям и равноудалённой от них. В окружности этого сечения проведена хорда . В окружности верхнего основания этого цилиндра проведена хорда , параллельная и равная 6. и лежат по разные стороны от некоторой плоскости, проведенной через ось симметрии цилиндра. Найдите угол между плоскостью и плоскостью нижнего основания этого цилиндра, если его высота равна 7.

22. В окружности сечения цилиндра плоскостью, параллельной его основаниям и равноудаленной от них проведена хорда , стягивающая дугу величиной . В окружности нижнего основания цилиндра проведена хорда , параллельная и стягивающая дугу величиной . и лежат по одну сторону от некоторой плоскости, проведенной через ось симметрии цилиндра. Найдите угол между плоскостью и плоскостью верхнего основания этого цилиндра, если его радиус и высота равны и соответственно.

23. Длина окружности цилиндра равна , высота цилиндра равна 6. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через центры его оснований.

24. Площадь основания цилиндра равна , высота цилиндра равна 6. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

25. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.

26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.

27. Площадь основания цилиндра равна , высота цилиндра равна 6. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

28. Площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенной площади основания. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания равен 7.

29. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , высота равна 2. Найдите диаметр основания цилиндра.

30. Площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенной площади основания. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания равен 7.

31. Площадь боковой поверхности цилиндра равна , высота равна 2. Найдите диаметр основания цилиндра.

32. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через центры его оснований.

33. Через точку окружности основания цилиндра проведены два сечения: одно осевое, а второе – параллельное оси цилиндра. Угол между плоскостями сечений равен . Площадь осевого сечения равна . Найдите площадь второго сечения.

34. Через образующую цилиндра проведены два сечения, одно из которых проходит через центр основания, Угол между плоскостями сечений равен . Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите меньшую из площадей данных сечений.

35. Через образующую цилиндра проведены два сечения, одно из которых осевое. Площадь осевого сечения равна . Угол между плоскостями сечений равен . Найдите площадь второго сечения.

36. Через точку окружности основания цилиндра проведены два сечения: одно через ось цилиндра, а второе параллельно ей. Угол между плоскостями сечений равен . Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите меньшую из площадей данных сечений.

37. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

38. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

39. В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уровень воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в кубических сантиметрах.

40. В цилиндрический сосуд налили 1700 см3 воды. Уровень воды при этом достиг высоты 10 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в кубических сантиметрах.

Часть С

18. Высота цилиндра равна3, а радиус основания равен 13. Площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, равна 72. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

Конус

Часть В

18. Диаметр основания конуса равен 30, а длина образующей – 25. Найдите высоту конуса.

19. Диаметр основания конуса равен 36, а длина образующей –30. Найдите высоту конуса.

20. Образующая конуса наклонена к плоскости основания конуса под углом . Найдите радиус основания, если длина образующей равна 15.

21. Площадь основания конуса равна . Площадь осевого сечения конуса равна 21. Найдите высоту конуса.

22. Площадь боковой поверхности конуса равна , а площадь его основания равна . Найдите площадь осевого сечения конуса.

23. Длина окружности основания конуса равна , высота конуса равна 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину и центр основания.

24. Площадь боковой поверхности конуса равна . Образующая конуса равна 10. Найдите диаметр основания.

25. В конусе радиус основания равен 6, площадь полной поверхности равна . Найдите длину образующей конуса.

26. Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

27. Объем конуса равен 40. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

28. Объем конуса равен , высота конуса равна 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину и центр основания.

29. Объем первого конуса равен 18 м³. У второго конуса высота в четыре раза меньше, а радиус основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем второго конуса. Ответ дайте в кубических метрах.

30. Найдите объем части конуса, указанной на рисунке. В ответе укажите отношение этого объема к числу .

Часть С

18. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершну конуса и взаимно перпендикулярные образующие. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

19. Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Площадь сечения равна . Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

20. Диаметр и хорда основания конуса равны соответственно 24 и 16, а высота конуса равна . Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса и хорду .

21. Диаметр и хорда основания конуса равны соответственно 26 и 24 тангенс угла между образующей и основанием конуса равен 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса и хорду .

Шар

Часть С

18. Два сечения сферы с центром в точке , проходящие через ее диаметр пересекаются под углом . О точках и известно следующее: точка лежит в первом сечении, а точка во втором; точки и находятся на максимальном расстоянии от диаметра сферы . Треугольник остроугольный. Найдите угол между прямыми и .

19. В сфере проведен диаметр . Через точку проведены хорды и так, что , . Найдите угол между прямой и плоскостью .

20. На шаровой поверхности лежат все вершины треугольника . Точка – центр шара. Найдите угол между прямой и плоскостью треугольника, если , , .

21. На шаровой поверхности лежат все вершины равнобедренной трапеции , у которой меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен . Точка – центр шара. Найдите угол между прямой и плоскостью трапеции, если большее основание трапеции равно радиусу шара.

22. Два сечения сферы с центром в точке пересекаются по диаметру . О точках и известно следующее: точка лежит в первом сечении, а точка во втором; точки и находятся на максимальном расстоянии от диаметра сферы . Найдите угол между этими сечениями, если угол между прямыми и равен .

23. В сфере проведен диаметр . Через точку проведены хорды и так, что , . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

24. В сфере проведен диаметр . Через току проведены хорды и так, что , . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

25. В сфере проведен диаметр . Через точку проведены хорды и так, что , . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

26. Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы и площадь каждого из них равна . Найдите площадь поверхности шара.

Комбинации тел

Часть В

18. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около сферы, если его образующая равна 10.

19. В правильную треугольную призму можно вписать шар таким образом, что он будет касаться всех боковых граней и оснований призмы. Найдите угол наклона диагонали боковой грани призмы к плоскости основания.

20. Куб вписан в шар радиуса . Найдите площадь поверхности куба.

21. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, высота которого равна 2. Найдите радиус цилиндра, если известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 12.

22. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 19,5. Найдите объем параллелепипеда.

23. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 11,5. Найдите объем параллелепипеда.

24. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих их одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

25. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

26. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 5. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

27. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 20.

28. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 19.

29. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 15.

30. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2,5. Найдите его объем.

31. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 5. Высота цилиндра равна 7. Найдите объем параллелепипеда.

32. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания цилиндра равен 3. Объем параллелепипеда равен 72. Найдите высоту цилиндра.

33. Основанием прямой призмы являетс прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

34. В окружность основания цилиндра вписан правильный треугольник. Найдите объем пирамиды той же высоты, что и цилиндр, в основании которого лежит этот треугольник, если объем цилиндра равен .

35. Дан куб . Объем треугольной пирамиды равен 3. Чему равен объем куба?

36. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. В него вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра той же высоты, что и пирамида. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен

37. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. В него вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра той же высоты, что и пирамида. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен .

Часть С

18. В сфере проведен диаметр , равный 12. Через точку проведены хорды и так, что , . Найдите Расстояние между ребрами и тетраэдра .

19. В сфере проведен диаметр . Через точку проведены хорды и так, что , . Найдите Расстояние между ребрами и тетраэдра .

20. Плоские углы при вершине пирамиды , в основании которой лежит равносторонний треугольник не превышают . Длины боковых ребер , . Найдите наименьший возможный радиус шара, описанного около такой пирамиды.

21. Диаметр сферы равен 12. Через точку проведены хорды и так, что , . Найдите объем тетраэдра .

Планиметрия (часть В)

Ященко, Семенов: Сборник типовых экзаменационных вариантов ЕГЭ 2013

18. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

19. В треугольнике угол равен , углы и – острые, высоты и пересекаются в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

20. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

21. В треугольнике угол равен , биссектрисы и пересекаются в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

22. В треугольнике угол равен , . Найдите .

23. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту CH.

24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

25. Угол равен . Его сторона касается окружности в точке , сторона содержит диаметр окружности. Найдите градусную величину дуги окружности, заключенной внутри этого угла.

26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

27. Найдите градусную величину дуги окружности, на которую опирается угол .

28. В треугольнике , , высота . Найдите .

29. Площадь треугольника равна 12. – средняя линия. Найдите площадь трапеции .

30. Найдите величину угла .

31. Площадь параллелограмма равна 8. Точка – середина стороны . Найдите площадь треугольника .

32. В треугольнике – биссектриса, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

33. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7); (5;7); (2;9).

Корешкова и др. ЕГЭ 2013 математика, тренировочные задания.

18. Бассейн прямоугольной формы окружен вымощенной дорожкой, как показано на рисунке (дорожка заштрихована). Какова площадь дорожки (в квадратных метрах).

19. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см Х 1 см изображен заштрихованный четырехугольник (см. рис.). Чему равна площадь заштрихованного четырехугольника в квадратных сантиметрах?

20. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см Х 1 см изображен заштрихованный треугольник (см. рис.). Чему равна площадь заштрихованного треугольника в квадратных сантиметрах?

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф и др.

18. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2;3); (2;5); (10;1); (10;7).

19. Найдите ординату точки, симметричной точке относительно начала координат. .

20. Окружность с центром в начале координат проходит через точку . Найдите ее радиус. .

21. Вектор с началом в точке имеет координаты . Найдите абсциссу точки . .

22. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (2;3); (8;6); (12;1); (12;3).

23. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0); (5;6); (9;4). .

24. Най клетчатой бумаге с размером клетки 1см Х 1см изображен четырехугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

25. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (-20;0); (0;21); (-20;21). .

26. Стороны правильного треугольника равны . Найдите длину вектора , где – середина . .

27. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 12. .

28. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 9 и . .

29. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. .

30. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 132, две его стороны (в последовательном порядке) равны 15 и 21. Найдите большую из оставшихся сторон. .

31. В параллелограмме с острым углом . Найдите . .

32. В треугольнике Угол равен ? , . Найдите . .

33. Сторона треугольника равна 7. Противолежащий ей угол равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. .

34. В ромбе угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. .

35. Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусамх. .

36. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 86. Ее большая боковая сторона равна 27. Найдите радиус окружности. .

37. В треугольнике , . Найдите площадь треугольника . .

38. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 17 соответственно, боковые стороны равны 13. Найдите тангенс острого угла трапеции. .

39. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 4:7:9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 338. .

40. Меньшая сторона прямоугольника равна 12, угол между диагоналями равен . Найдите радиус описанной окружности. .

41. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. .

42. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен . Найдите сторону этого треугольника. .

43. В равнобедренном треугольнике с основанием боковая сторона равна 22, а . Найдите высоту, проведенную к основанию. .

44. В равнобедренном треугольнике с основанием 6 и высотой, проведенной к основанию, равной 4, найдите радиус описанной окружности. .

45. В треугольнике угол в два раза больше угла , а длина стороны равна 9. Найдите биссектрису этого треугольника, если . .

Планиметрия (часть С)

Ященко, Семенов: Сборник типовых экзаменационных вариантов ЕГЭ 2013

18. В треугольнике известны стороны , , . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые BA и BC, соответственно, в точках и , оличных от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник . Найдите длину отрезка .

19. Дан треугольник со сторонами 13; 13 и 24. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

20. Дан ромб с диагоналями и . Проведена окружность радиусом с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину , касается этой окружности и пересекает прямую в точке . Найдите .

21. Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен . Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

22. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

23. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника равно .

24. Окружность проходит через вершину прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности .

25. Боковые стороны и трапеции равны 5 и 13 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 6, средняя линия трапеции равна 12. Прямые и пересекаются в точке . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .

Корешкова и др. ЕГЭ 2013 математика, тренировочные задания.

18. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника , пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке . Сторона и делит отрезок в отношении, равном 3:1, считая от точки . Найдите периметр треугольника .

19. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника , пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке , причем . Найдите отношение , где – центр окружности, вписанной в треугольник .

20. Прямая, содержащая биссектрису угла треугольника , пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке , причем . Найдите площадь треугольника , если и .

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф и др.

18. В параллелограмме , биссектрисы углов при стороне делят сторону точками и так, что . Найдите .

19. В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями и . Найдите диагональ трапеции.

20. В окружность радиуса вписана трапеция с основаниями и . Найдите боковую сторону трапеции.

21. Две окружности с радусами 36 и 9 касаются внешним образом. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в окружность; касательную к двум данным окружностям и к их общей касательной.

22. В трапеции с основаниями и диагонали и пересекаются в точке так, что одна из них делится в отношении 1:2. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника равна 8.

23. Прямая касается двух окружностей с радиусами 4 и 8 в точках и соответственно. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если .

24. Точка –середина отрезка , длина которого равна 12. Проведены три окружности радиуса 10 с центрами в точках , и . Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных окружностей.

25. Расстояние между центрами двух окружностей равно 50. Одна из окружностей имеет радиус 25, вторая –30. Некоторая прямая пересекает меньшую окружность в точках и и касается большей в точке . Найдите длину хорды , если .

26. Две окружности с радиусами и ( ) касаются в точке . Определите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке , а две другие лежат на разных окружностях, если , .

27. В треугольнике , , . Точка лежит на прямой так, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников и , касаются стороны в точках и . Найдите длину отрезка .

28. В трапеции точки , , , лежат соответственно на , , и так, что . Найдите , если , , , .

29. Трапеция вписана в окружность, расстояния от центра окружности до её оснований и равны 4 и 3 соответственно, синус угла равен 0,8. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон .

30. В треугольнике на стороне выбраны точки и так, что . Медиана пересекает прямые и в точках и cоответственно. Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника .

31. Биссектриса треугольника пересекает медиану и биссектрису в точках и соответственно. Найдите отношение , если .