Розв’язання завдань

Завдання 1а) Дослідити на збіжність ряд

Перевіримо необхідну умову збіжності ряду (2):

Ряд збігається \ розбігається ^*)

Завдання 1б) Дослідити на збіжність ряд

Застосуємо ознаку Даламбера (3): ………….

Оскільки ця границя більша\менша за одиницю, то ряд розбігається\збігається

Завдання 1в) Дослідити на збіжність ряд

Застосуємо радикальну ознаку Коші (4): ……….

Оскільки ця границя більша\менша за одиницю, то ряд розбігається\збігається

Завдання 1г) Дослідити на збіжність ряд

Застосуємо граничну ознаку порівняння рядів. У якості ряду порівняння візьмемо ряд Діріхлє

(Д)

Оскільки p= , то цей ряд Діріхле (Д) є збіжним \ розбіжним.

Перевіримо виконання умов ознаки порівняння

Отже початковий ряд і ряд Діріхле (Д) поводять себе однаково, тому вихідний ряд також є збіжним \ розбіжним

Завдання 2 ) Записати три перші члени ряду та дослідити його на абсолютну та умовну збіжність.

З формули для загального члену ряду одержимо :

а₀= а₁= а₂=

1. Перевіримо виконання необхідної умови збіжності ряду¹

Необхідна умова не виконується \ виконується, тому ряд розбігається² \ потрібне подальше дослідження.

2. Дослідимо вихідний ряд на абсолютну збіжність. Для цього розглянемо ряд, що утворено з модулів членів вихідного ряду

Застосуємо ознаку Даламбера\Коши\порівняння

Ряд з модулів збігається \ розбігається, тому ряд збігається абсолютно³ \ абсолютної збіжності не має, потрібне подальше дослідження.

3. Дослідимо вихідний ряд на збіжність.

3. ; ( перевірено вище у пункті І )

4. Перевіримо, що послідовність монотонно не зростає для достатньо великих , тобто :

Отже за ознакою Лейбніца ряд збігається. А оскільки абсолютної збіжності не має (див. п ІІ ), то ряд збігається умовно.

Висновок: ряд збігається абсолютно \ збігається умовно \ розбігається.

Завдання 3 ) Записати явно часткову суму . Знайти область збіжності ряду .

Підставляючи у формулу для загального члена послідовно n=0,1,2 , одержимо

u₀(x)= ; u₁(x)= ; u₂(x)=

Тепер маємо можливість записати S₂(x)=

Для визначення радіусу збіжності застосуємо формули (11) та одержимо

З’ясуємо поведінку ряду у граничних точках області збіжності x₁=x₀ – R= , х₂=х₀ +R=

Спочатку підставимо у початковий ряд точку х =

Таким чином, точка х= належить області збіжності \ розбіжності степеневого ряду.

Підставимо тепер у початковий ряд х = . Одержимо числовий ряд

Таким чином, точка х= належить області збіжності \ розбіжності степеневого ряду.

Остаточно, область збіжності ряду має вигляд

Завдання 4 ) Наближено обчислити наступні значення, використовуючи 3 члени розкладу функцій у ряд Маклорена. Оцінити похибку. Вважати, що .

Застосовуючи розклад поданої функції у ряд Тейлора за допомогою табл. (стор.14), будемо мати

Підставивши замість х число x₀= та задовольняючись 3-ма членами розкладу одержимо

Оскільки цей ряд є знакозмінним, похибку можна оцінити за теоремою Лейбніца. Для цього обчислимо а₄ =

Отже похибка наближення не буде перебільшувати

Завдання 5 ) Наблизити функцію ………………………….. квадратним тричленом у околі точки за допомогою розкладу її у ряд Маклорена

Необхідне наближення буде аналогічним (19) і матиме вигляд :

Обчислюючи f (0) ,одержимо f (0)=

Після диференціювання одержимо f (x)=

Відповідно f (0)=

Диференціюючи ще один раз ,будемо мати f (x)=

При цьому f (0)=

Таким чином, будемо мати наближення =

Завдання 6 ) Обчислити наближено інтеграл , взявши 4 члени розкладу у степеневий ряд підінтегральної функції. Оцінити похибку.

Для наближеного обчислення інтегралу застосуємо розклад у ряд Тейлора підінтегральної функції. За таблицею (стор.14) будемо мати

Проінтегруємо одержаний ряд почленно в інтервалі збіжності та одержимо:

Не важко бачити, що отриманий ряд є знакозмінним і задовольняє умовам теореми Лейбніца, тому I – S_n<a_n+1. Послідовно обчислюючи , маємо

n=1, a₁=……………………………n=2, a₂ =……………………………….

n=3, a₃……………………………..n=4, a₄ =……………………………..

Отже I …………………………………… ………. з похибкою меншою ніж…………….

Завдання 7) Знайти наближений розв’язок задачі Коші за допомогою розкладу невідомої функції у ряд Тейлора обмежившись трьома членами розкладу

Припустимо що для y(x) існує розклад у ряд Тейлора :

де позначено . З початкової умови маємо x₀= … y₀ =…. Значення визначимо з диференціального рівняння при x=x₀:

=

Продиференцюємо тепер задане рівняння з урахуванням того, що y=y(x) і отримаємо

y (x)=

Обчислимо в точці x₀. Будемо мати

Продиференцюємо ще один раз початкове рівняння та одержимо вираз для третьої похідної y(x) :

y (x)=

При цьому y (0)=

Остаточно , наближений розв’язок матиме вигляд

y(x)

Завдання 8) Періодичний з періодом . прямокутний імпульс f(x) є заданим на півперіоді (0, …) формулою

.

Побудувати графік f(x) на інтервалі (-…., ….), продовжуючи як парну \ непарну функцію.

Розкласти f(x) у ряд Фур’є.

Записати тригонометричні многочлени , що наближують f(x). Обчислити їх у точці , що є серединою інтервалу (,). Знайти значення у точках та .

Виконаємо продовження даної функції на інтервал (-2l,2l)

Знайдемо коефіцієнти Фур’є. Оскільки функція f(x) є парною \ непарною, одержимо згідно (24)-(25)

Знайдемо ненульові коефіцієнти ряду

Таким чином, ряд Фур’є буде мати вигляд

Обчислимо три перших коефіцієнти Фур’є

Тепер маємо змогу записати тригонометричні многочлени

S₁(x)=

S₂(x)=

S₃(x)=

Обчислюючи значення цих многочленів у точці одержимо

S₁(x₀)= S₂(x₀)= S₃(x₀)=

Значення S(x)у точці x₀, що є точкою неперервності наданої функції, дорівнює

f(x₀)=

Оскільки точка x₁ є точкою розриву функції, за теоремою про характер збіжності рядів Фур’є будемо мати

S(x₁)=