Знакозмінні ряди.

Відкинемо тепер припущення про додатність (або від’ємність) членів ряду (1), тобто будемо вважати, що серед його членів є нескінчена кількість як додатних так і від’ємних чисел. В такому випадку усі наведені вище ознаки, окрім достатньої ознаки розбіжності, безпосередньо не можуть бути застосовані (вони справедливі тільки для знакопостійних рядів!), але вони будуть корисними завдяки наступній теоремі про абсолютну збіжність :

Теорема: Якщо ряд, побудований з абсолютних величин членів ряду (1)

(4)

збігається, тоді ряд (1) збігається також.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Очевидно, серед чисел sinn зустрічаються як додатні, так і від’ємні. Розглянемо ряд . Маємо . Оскільки ряд збігається (p=2), то збігається і ряд . За теоремою про абсолютну збіжність збігається і початковий ряд .

Зауважимо, що, коли ряд (4) розбігається, поведінка початкового ряду (1) залишається нез’ясованою –він може як збігатися, так і розбігатися.

Вживається така термінологія:

Якщо ряд (4) збігається, то кажуть, що ряд (1) збігається абсолютно.

Якщо ряд (4) розбігається, а ряд (1) – збігається то кажуть, що ряд (1) збігається умовно.

Мають місце узагальнені ознаки Даламбера:

та Коші:

Ці ознаки можна використовувати для аналізу збіжності знакозмінних рядів.

Приклад: Дослідити на збіжність ряд . Застосовуючи узагальнену ознаку Даламбера, маємо . Тому ряд збігається абсолютно, і (за теоремою про абсолютну збіжність) збігається у звичайному сенсі також.

Знакопереміжні ряди

Це такі знакозмінні ряди, в яких сусідні члени обов’язково мають протилежні знаки. Такі ряди можуть бути записані у вигляді

– a₁ + a₂ – a₃ + a₄ –a₅ + a₆…, a_n >0 .

Для рядів такої структури справджується наступна

Теорема Лейбніца: Знакопереміжний ряд збігається, якщо:

1. ;

2. його члени монотонно спадають, тобто .

Приклад: Дослідити на збіжність знакопереміжний гармонічній ряд . Неважко бачити, що обидві умови теореми Лейбніца виконані, тому цей ряд збігається. Зауважимо, що збіжність – умовна, оскільки ряд з модулів (гармонічний ряд) розбігається.

Особливість знакопереміжних рядів полягає в тому, що для них виконується нерівність

 S – S_n < a_n+1. (5)

якій можна надати такий зміст. Обчислення точної суми ряду S у загальному випадку є складною задачею. (Нами було наведено лише один випадок її обчислення – геометрична прогресія). Обчислення суми S_n, навпаки, задача, яка не містить, з точки зору математики, ніяких труднощів. На практиці часто обчислюють часткову суму ряду S_n (для достатньо великих n) і вважають, що SS_n., У випадку знакопереміжного ряду нерівність (5) дозволяє оцінити похибку, з якою ця наближена рівність виконується, а саме : похибка менша за перший із неврахованих членів.

Розв’язуючи (5), можна одержати, що невідома сума ряду S знаходиться в таких межах:

. (6)

Приклад. Обчислити наближено суму ряду , взявши чотири його члени, та оцінити похибку. Виконуючи обчислення, отримаємо

,

Таким чином, =0.89192703,

а нерівність (5) набуває вигляду

,

Застосовуючи (6) її можна записати як

,

Звичайно останню нерівність округлюють, після чого вона дістає вигляду

,

що інколи записують як .

Можна також поставити задачу про знаходження суми S знакопереміжного ряду з заданою точністю . Припустимо, що =210^-4. Знайдемо такий член ряду a_n+1, для якого a_n+1<210^-4. Усі обчислені вище члени більші ніж , але a₅=1.610^-4. На основі (5) маємо S – S₄ <1.610^-4<210^-4, тобто S₄ задовольняє поставленій вимозі. Обчислюючи, одержимо

 S–0.891145833 <1.610^-4, або, виконуючи дії, аналогічні наведеним вище, отримаємо або S 0.8912210^-4 .