Приклад. Ряд розбігається, оскільки .

Зауваження: У випадку питання про поведінку ряду цією ознакою не з’ясовується, тобто ряд може як збігатися так і розбігатися. Наприклад, , а ряд розбігається (цей факт буде доведено далі).

Ознаки збіжності рядів з додатними членами

Нехай ми маємо ряд , у якому a_n>0, n.

Ознака Даламбера : Якщо границя l відношення двох сусідніх членів ряду менша за 1, тоді ряд збігається, якщо ця границя більша за 1, тоді цей ряд розбігається. Якщо l =1, тоді питання про збіжність ряду не може бути з’ясовано за допомогою цієї ознаки. Ознака Даламбера може бути схематично записана у вигляді

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Тут ; .

Отже, ряд збігається.

Радикальна ознака Коші.

Зміст позначень у цій ознаці такий же, як у ознаці Даламбера.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Знаходимо , з чого робимо висновок, що цей ряд збігається.

Зауважимо, що застосовуючи достатню ознаку розбіжності у цьому прикладі, ми одержимо , тобто питання не з’ясовується; застосування ж ознаки Даламбера приводить до досить складних обчислень.

Інтегральна ознака Коші .Нехай a_n= f(n) >0, і f(x) монотонно спадає для x  1. Тоді ряд та невласний інтеграл збігаються та розбігаються одночасно.

Геометричний зміст інтегральної ознаки Коші полягає у такому. На рис. 1 зображено графік функції f(x). За геометричним змістом є площею фігури, що обмежена віссю ОХ та графіком f(x). З рисунку очевидно, що , де – сума площ описаних прямокутників, а – сума площ вписаних прямокутників.

Рис. 1

.

таким чином, геометрична інтерпретація інтегралу дозволяє зробити такі висновки: коли збігається, то збігається і ряд .(бо він займає меншу площу), а коли розбігається, то розбігається і ряд . Звідси легко одержати і остаточний результат :ряд та інтеграл збігаються та розбігаються одночасно.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Тут p довільне додатне число. Маємо , і виконані умови інтегральної ознаки Коші. Обчислимо відповідний інтеграл та отримаємо при p1

Для p=1 маємо: .

Остаточно одержимо

(2)

Ряд називають гармонічним, він розбігається (p=1). Ряди (2) при довільному р>0 називають рядами Діріхле, або узагальненими гармонічними.

Приклад. Ряд збігається (p=1.5), а ряд розбігається (p=1/3).

Ознака порівняння І (мажорантна). Нехай маємо два ряди та , відносно яких відомо, що 0a_nb_n n. Тоді:

1. Якщо розбігається, тоді і розбігається, тобто розбіжність ряду з менших членів веде до розбіжності ряду з більших членів, що є природним.

2. Якщо збігається, тоді й збігається. Цей факт також є зрозумілим: якщо сума більших доданків має скінчену границю, то і сума менших також буде мати скінчену границю.

Ознака порівняння ІІ (гранична).

Знову розглянемо два ряди та (a_n>0; b_n>0,n). Припустимо, що існує границя

. (3)

де λ задовольняє умові . Тоді обидва ряди поводять себе однаково, тобто або обидва збігаються, або обидва розбігаються.

Пояснення. Наявність властивості (3) фактично означає, що a_n відрізняється від b_n приблизно в  разів (для великих n). Тому згідно загальної властивості 1 (ЗВ1) обидва ряди повинні збігатися або розбігатися одночасно.

При застосуванні ознак порівняння один з рядів – той, збіжність якого необхідно з’ясувати, другий (він називається рядом порівняння) – ми повинні вибрати самі і мати інформацію про його збіжність або розбіжність.

У якості рядів порівняння часто застосовуються ряди Діріхле (2).

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Очевидно lnn>1 , якщо n>2. Маємо нерівність ,. але ряд розбігається. Тому на основі мажорантної ознаки порівняння робимо висновок про розбіжність початкового ряду.

Приклад. Розглянемо ряд . Спробуємо застосувати ідею попереднього прикладу. Маємо . Ряд збігається як ряд Діріхле (p=2), але це не дозволяє з’ясувати поведінку даного ряду, оскільки збігається менший з рядів!

Дослідження цього ряду можна провести, застосовуючи мажорантну ознаку порівняння таким чином. Покажемо спочатку, що . Дійсно, розглянемо функцію . Маємо . Звідси маємо, що для похідна , тобто функція f(x) спадає для . При цьому маємо f(4)–0.62<0. Внаслідок спадання ця функція буде від’ємною і для , тобто , і . Звідси маємо

(n > 4).

Оскільки ряд збігається (це ряд Діріхле з p=3/2), згідно з мажорантною ознакою порівняння збігається і ряд .

Приклад. Розглянемо ряд . Маємо . Візьмемо . Неважко довести, що .

Застосовуючи граничну ознаку порівняння, дістанемо висновку: ряд збігається, оскільки ряд збігається (це ряд Діріхле з p=2).

Зауваження: У останніх трьох прикладах умови відповідних теорем виконуються не для усіх членів ряду, а починаючи з деякого . Власне кажучи, ми довели збіжність рядів ,але з урахуванням ЗВ2, ті ж висновки дійсні і для заданих рядів.

Зауваження: З урахуванням ЗВ1 (при λ= -1) наведені ознаки можна застосовувати також для дослідження рядів, усі члени яких є від’ємними.