1. 4. Прискорення. Рівноприскорений прямолінійний рух. Графіки залежності кінематичних величин від часу

Рух матеріальної точки, під час якого її швидкість за будь-які однакові проміжки часу збільшується або зменшується на ту саму величину, називається рівнозмінним. Такий рух є найпростішим нерівномірним рухом. На практиці трапляються такі його наближення: гальмування всіх засобів транспорту, початок їх руху з поступовим збільшенням швидкості, вільне падіння тіл, коли вплив опору повітря незначний, тощо. До встановлених кінематичних величин для рівномірного прямолінійного руху (координати, переміщення, шляху, швидкості) в рівнозмінному прямолінійному русі додається прискорення, що характеризує швидкість зміни швидкості. Якщо в початковий момент часу t₀ = 1, тіло має початкову швидкість , а через певний час t його швидкість дорівнює , то вектор прискорення прямолінійного рівнозмінного руху можна визначити за формулою

Прискорення – це векторна фізична величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості до часу, протягом якого ця зміна відбулася.

Якщо швидкість за будь-які однакові проміжки часу збільшується на ту саму величину, то такий рух називається рівноприскореним. Якщо швидкість тіла зменшується згодом на ту саму величину, то рух називають рівносповільненим. У цілому рівнозмінним називають такий рух тіла, за якого прискорення є сталим ( ).

Прискорення обчислюють як скалярну величину – проекцію вектора прискорення – і формулу (2.1.8) можна записати в скалярній формі:

Проекція вектора прискорення буде мати знак «+», якщо напрям вектора прискорення збігається з напрямом вектора , і знак «-« у випадку протилежного напряму цих векторів. На підставі формули (2.1.9) встановлюють одиниці вимірювання прискорення. Як одиницю прискорення в СI взято прискорення 1 м/с² – це прискорення такого рівнозмінного руху, під час якого швидкість за 1 с змінюється на 1 м/с.

Для побудови графіка прискорення прямолінійного рівнозмінного руху по осі ординат відкладають прискорення, а по осі абцис – час. Оскільки під час рівнозмінного руху прискорення не змінюється, то графік прискорення є прямою, паралельною осі часу. На рис.2.1.16 показано графік прискорення прямолінійного рівноприскореного руху I (а = 2 м/с²) і рівносповільненого II (а = - 4 м/с²).

Із формули (2.1.8) легко визначити миттєву швидкість прямолінійного рівноприскореного руху:

Швидкість рівнозмінного руху є лінійною функцією часу. Із формули (2.1.10) знайдемо значення проекції вектора швидкості на вісь Ох:

Характерні графіки швидкості рівнозмінного руху матеріальної точки для різних випадків показано на рис.2.1.17, на якому: а – графік швидкості рівноприскореного руху без початкової швидкості; б – графік швидкості рівноприскореного руху з початковою швидкістю; в – графік швидкості рівносповільненого руху. В усіх випадках графіки швидкості прямолінійного рівнозмінного руху мають вигляд прямих ліній, проведених під кутом до осі часу.

Використовуючи формулу (2.1.10) варто мати на увазі, що напрям однієї з осей системи відліку збігається з напрямом вектора початкової швидкості . Якщо вектор прискорення спрямовано протилежно вектору , тобто a < 0, значення швидкості у деякий момент часу може виявитися від'ємним. Це означає, що швидкість у цей момент часу також спрямовано протилежно напряму .

Середню скалярну швидкість рівнозмінного руху можна знайти як середнє арифметичне початкової v₀ і кінцевої v_t швидкостей у цьому інтервалі часу:

Якщо відомі час і середня скалярна швидкість, то шлях, пройдений матеріальною точкою за рівнозмінного руху,

Після підстановки значення середньої швидкості (2.1.11) у рівняння (2.1.12) одержуємо

Підставляючи замість його значення із формули (2.1.10) і перетворюючи праву частину рівності, знаходимо вираз шуканого шляху прямолінійного рівнозмінного (рівноприскореного) руху:

Рівняння (2.1.13) можна одержати іншим способом на підставі графіка швидкості рівноприскореного руху з початковою швидкістю (рис.2.1.18). На цьому графіку пройдений шлях чисельно дорівнює площі трапеції, яку можна подати як суму площ прямокутника і трикутника (на рис.2.1.13 заштриховані). Таким чином, числове значення шляху рівноприскореного руху:

Площа прямокутника дорівнює добутку основи t на висоту v₀:

.

Площа трикутника дорівнює половині добутку основи t на висоту v_t –v₀:

.

З огляду на те, що v_t –v₀ =at, одержують: . Додаючи площі S_пр і S_тр, знаходять вираз для шляху рівнозмінного руху у вигляді рівняння (2.1.13)

Якщо тіло рухається рівноприскорено без початкової швидкості (v₀=0), то пройдений шлях:

Таким чином, шлях, пройдений тілом у рівнозмінному русі, є квадратичною функцією часу і завжди додатною величиною.

Графіки шляху для різних видів прямолінійного рівнозмінного руху показано на рис.2.1.19: І – рівноприскореного руху з початковою швидкістю; ІІ – рівноприскореного руху без початкової швидкості; ІІІ – рівносповільненого руху. Графіки шляху І і ІІ прямолінійного рівноприскореного руху є гілками парабол, вершини яких знаходяться в початку координат. У першому випадку крива піднімається крутіше, тобто з двох тіл, що рухаються з однаковими прискореннями, , раніше пройде заданий шлях те тіло, початкова швидкість якого більша. За графіком шляху рівноприскореного руху можна визначити швидкість руху точки.

Графік шляху ІІІ рівносповільненого руху показано до моменту часу , коли швидкість змінює свій знак на протилежний (за умови, що до зупинки і після неї прискорення за модулем і напрямом залишається сталим). Коли зміниться напрям руху на протилежний початковому, шлях можна обчислити за формулою

.

Графік цього шляху показано пунктирною лінією (рис.2.1.19). Він подібний до графіка шляху ІІ, але вершина його гілки параболи виходить не із початку осей координат, а з точки, де відбулася зміна напряму руху. Із формули (2.1.13) для проекції переміщення під час рівноприскореного руху знаходимо:

Для знаходження координати X точки в будь-який момент часу t потрібно до початкової координати X₀ додати проекцію вектора переміщення на вісь Ох (рис.2.1.20):

З виразів (2.1.14) і (2.1.15) дістаємо:

Вираз (2.1.16) називають рівнянням рівнозмінного прямолінійного руху (кінематичний закон цього руху). Права частина формули (2.1.16) є алгебраїчною сумою, оскільки X₀, v_0x, a_x можуть бути додатними і від'ємними. Можливі залежності координати від часу у разі рівнозмінного руху зображено на рис.2.1.21.

Отже, основними рівняннями, що описують прямолінійний рівнозмінний рух точки, є рівняння (2.1.8), (2.1.10), (2.1.13) і (2.1.16). У цих рівняннях у разі рівносповільненого руху прискорення від'ємне. Якщо з формули (2.1.9) визначити значення t і підставити його в (2.1.13), то після перетворень дістанемо рівняння прямолінійного рівнозмінного руху такого вигляду:

Якщо прямолінійний рівноприскорений рух тіла починається зі стану спокою (v₀=0), то рівняння (2.1.17) набуває вигляду

або

Формули (2.1.17) – (2.1.19) часто використовують для розв'язання задач.