2.3. Векторные и матричные функции
MathCAD содержит встроенные функции для обычных в линейной алгебре действий с матрицами и векторами. Все функции от векторного аргумента используют вектор- столбец; если нужна строка, то надо использовать транспонирование.
Напомним, что список встроенных функций можно вызвать через главное меню (Insert - Function) или используя кнопку с надписью f(x) на панели инструментов.
Рассмотрим основные матричные и векторные функции:
rows (A) - определяет количество строк в массиве А;
cols (A) - определяет количество столбцов в массиве А;
length (V) - выдает размер вектора V (число элементов в векторе);
max (A) - выдает максимальный элемент массива;
min (A) - выдает минимальный элемент массива;
rank (A) - определяет ранг матрицы А;
augment (A,B) – создает новый массив, располагая массив А слева от массива В (А и В должны содержать одинаковое число строк);
stack (A,B) – создает новый массив, располагая массив А над массивом В (А и В должны содержать одинаковое число столбцов);
submatrix (A,ir,jr,ic,jc) – создает подматрицу матрицы А, состоящую из элементов, расположенных в строках с номерами от ir до jr и столбцах с номерами от ic до jc.
Пример 4. Применим рассмотренные функции к заданным ранее матрицам и векторам.
2.4. Задания для самостоятельного решения
1. Задайте три массива: А – размерности ; В и С – размерности .
2.
Вычислите:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3. Для тех матриц, для которых возможно, найдите обратные матрицы и сделайте проверку.
4. Задайте два вектора: V- равный второму столбцу матрицы А, U-равный третьей строки матрицы С.
5.
Вычислите:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
6. Найдите значения выражений:
а)
;
б)
.
Сделайте проверку.
7. Найдите максимальные и минимальные элементы во всех массивах, вычислите ранги матриц А, В, С и длины векторов V и U.
8. Создайте новые массивы:
- объединив матрицы С и А, матрицы В и С, матрицу А с векторами V и U, векторы V , U и последние столбцы матриц А, В, С;
- расположив матрицу С над матрицей В;
- добавив к матрице В вектор U в качестве первой строки;
- выделив из матрицы С подматрицу, состоящую из второй и третей строк, и второго, третьего и четвертого столбцов;
-
выделив из матрицы
А произвольную
подматрицу размерности
.
Лабораторная работа №3 Тема: Решение систем алгебраических уравнений
Цели работы:
Рассмотреть способы решения систем уравнений.
Рассмотреть способы решения систем линейных уравнений.
3.1. Основные теоретические положения Системой уравнений называется совокупность уравнений вида
Решением
системы уравнений называется любой
набор значений
,
при подстановке которых уравнения
системы обращаются в верные равенства.
Системой линейных уравнений называется система вида
или
в матричной форме
,
где
,
,
.
Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой; в противном случае неопределённой.
Система называется крамеровской, если в ней число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициентов А отличен от нуля.
Крамеровская
система имеет единственное решение,
которое можно найти по правилу Крамера:
,
где
,
- определитель, получаемый из
заменой
-
го столбца на столбец свободных членов.
MathCAD решает уравнения при помощи итерационных методов, поэтому требуется задавать начальные приближения, на основе которых строится последовательность, сходящаяся к искомому решению. Различные начальные приближения приводят к различным решениям.
Для того чтобы решить систему уравнений, необходимо создать блок решения уравнений, содержащий ключевое слово Given и функцию Find.