Лабораторная работа № 7 Тема: Дифференцирование функций одной переменной

Цель работы: Научиться вычислять производные первого и высших порядков.

Производные в MathCAD можно вычислять символьно и численно. В первом случае ответом будет выражение, во втором – число, равное значению производной в некоторой, заранее заданной точке.

7.1. Производные первого порядка

Чтобы вычислить значение производной в точке, необходимо:

1. Задать точку, в которой требуется вычислить производную.

2. Вызвать шаблон для вычисления производной либо клавишей [?] (на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления».

3. В поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная, в свободное поле знака производной ввести переменную, по которой производится дифференцирование.

4. Набрать знак равенства и щелкнуть мышью вне выражения.

Замечание. Если требуется вычислить значение производной в нескольких точках, то чтобы не набирать каждый раз функцию, ее удобно задать предварительно.

Пример 1. Вычислим значение производной от функции в точке .

Решение.

Пример 2. Вычислим значение производной от функции в точках , , .

Решение. Задаем функцию

Вычисляем значения производной от заданной функции в каждой заданной точке

Можно найти значения производной в нескольких точках из заданного отрезка с некоторым шагом. Для этого переменную, по которой производится дифференцирование, необходимо задать как дискретную переменную.

Пример 3. Вычислим значения производной от функции в точках отрезка [-3; 3] с шагом 0,5.

Решение. Задаем х как дискретную переменную:

Задаем функцию:

Выводим таблицы значений переменной х и значений производной от заданной функции в соответствующих точках:

Чтобы вычислить производную символьно, необходимо:

1. Щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа.

2. Вызвать шаблон для вычисления производной.

3. Заполнить шаблон так, как указано выше.

4. Вычислить производную символьно.

Аналогично вычислению значению производной в точке при символьном вычислении производной функцию можно задавать предварительно.

Пример 4. Найдем производную от функции .

Решение.

Пример 5. Найдем производную от функции .

Решение.

7.2. Производные высших порядков

Производные высших порядков находятся так же, как и производные первого порядка, с тем лишь отличием, что теперь следует вызывать шаблон производной порядка п . Сделать это можно либо сочетанием клавиш [Ctrl] и [?] (на английской раскладке), либо используя соответствующую кнопку на палитре «Вычисления». При заполнении шаблона необходимо в поле справа от знака производной ввести функцию, от которой вычисляется производная. В свободные поля под чертой дроби знака производной ввести переменную, по которой производится дифференцирование, и указать порядок производной. Свободное поле над чертой дроби заполнится автоматически.

Пример 6. Найдем значения второй, третьей и четвертой производных от функции в точке .

Решение.

Пример 7. Для функции найдем значения третьей производной в точках , , .

Решение. Зададим предварительно функцию

Найдем значения производной в заданных точках

Пример 8. Вычислим значения второй производной от функции в точках отрезка [-5; 5] с шагом 2.

Решение.

Пример 9. Найдем вторую, третью и четвертую производные от функции .

Решение.