16. Теорема про представлення бульової функції формулою у дкнф

Теорема. Довільну бульову функцію, що не дорівнює тотожно одиниці, можна представити формулою у Д К Н Ф.

Доведення. Нехай бульова функція задана таблицею значень. В цій таблиці повинен бути хоч один нулик, бо тотожно істина формула в Д К Н Ф не представляється.

x1 x2 ... xn-1 xn					...
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 ....................... 1 1 1 0 1 1 1 1	1 0 1 0 ... 0 1	1 0 1 1 ... 1 1	1 1 1 0 ... 1 1	1 1 1 1 ... 1 1	... ... ... ... ... ... ...	1 1 1 1 ... 0 1

Для функції будуємо допоміжні функції _{, , ,} ..., так, щоб кожному нулю функції відповідала одна і тільки допоміжна функція яка приймає значення 0 на тому ж наборі, що і функція . Запишемо допоміжні функції формулами в формі елементарних сум.

= _, = _, = _{, ...,} = .

Хвилясті лінії над змінними означають, що заперечення може бути, а може і не бути. Ці формули допоміжних функцій відрізняються одна від одної розташуванням заперечень. Доведемо рівність

= ... .

Доведення: 0 0 ... = 0.

Наслідок. Представлення бульової функції формулою у Д К Н Ф єдине з точністю до розташування логічних співмножників і логічних доданків в них.

Наслідок випливає з теореми і з того, що представлення бульової функції таблицею єдине.

17. Алгоритм зведення формули до дкнф

Алгоритм зведення формули до Д К Н Ф полягає у виконанні тотожних перетворень за формулами наступних п’яти пунктів.

1.

2. ,

3.

4. , де - логічна сума змінних без х

5. = , де - елементарна n – місна сума

В разі потреби для спрощення формул використовують тотожності 1 - 17

Приклад. №34(4), стор. 15, [3]. Звести до Д К Н Ф формулу .

=¹ =² =³

=³ =⁴ .

Пояснення.

1) Позбавляємось від імплікації, використовуючи тотожність 1-го пункту алгоритму.

2) Використовуємо правило Де Моргана 2-го пункту алгоритму.

3) Використовуємо тотожність з тотожностей 1 – 17 та тотожність з 3–го пункту алгоритму.

4) Використовуємо тотожність та з тотожностей 1 – 17.

18. Рівносильні та тотожно істинні формули в бульовій алгебри

З теорем про представлення бульової функції формулою у досконалих формах випливає, що такі представлення єдині. Тому, щоб перевірити дві формули на рівносильність, достатньо звести їх до однієї із досконалих форм і порівняти.

Тотожно істинна формула в Д Д Н Ф містить доданків, а в Д К Н Ф не містить жодної елементарної суми. Тому при дослідженні формули на тотожну істинність зведенням її до Д Д Н Ф слід перевірити присутність всіх доданків. А при зведенні тотожно істинної формули до Д К Н Ф вираз спрощується і одержуємо константу 1.

Тотожно хибна формула в Д К Н Ф містить множників, а в Д Д Н Ф не містить жодного елементарного добутку. Тому при дослідженні формули на тотожну хибність зведенням її до Д К Н Ф слід перевірити присутність всіх множників. А при зведенні тотожно хибної формули до Д Д Н Ф вираз спрощується і одержуємо константу 0.

Приклад. Перевірити, чи рівносильні формули: , .

Бачимо, що перша формула відразу ж зводиться до Д К Н Ф. = = .

Зведемо і другу формулу до Д К Н Ф. = = = = = .

Висновок: , формули не рівносильні, нульові набори 0 0 1 та 1 0 1 відповідно.

19. Зв’язок між рівносильними і тотожно істинними формулами

Теорема. Для того, щоб формули та були рівносильні, необхідно і досить щоб формула була тотожно істинною.

Необхідність. .

Доведення. .

Достатність. .

Доведемо твердження обернене до протилежного: .

.