
- •І. Вступ
- •1. Виникнення та значення математичної логіки
- •3.Формули алгебри висловлень
- •4. Бульові функціхї та їх властивості
- •5. Рівносильні та тотожно істинні формули алгебри висловлень
- •Відповідна бульова функція приймає значення 1 на всіх наборах, тому .
- •6. Огляд всіх можливих 2- місних бульових функцій
- •7. Функціонально повний набір логічних операцій
- •8. Означення бульової алгебри
- •11. Означення формули у дднф. Перехід від таблиці до формули
- •12. Теорема про представлення бульової функції формулою у дднф
- •13. Алгоритм зведення формули до дднф
- •14. Елементарні суми Означення. Елементарною сумою для n-місної бульової функції називають формулу, що являє собою логічний суму n різних змінних, взятих із запереченням або без нього.
- •15. Означення формули у дкнф. Перехід від таблиці до формули
- •16. Теорема про представлення бульової функції формулою у дкнф
- •17. Алгоритм зведення формули до дкнф
- •18. Рівносильні та тотожно істинні формули в бульовій алгебри
- •IV. Застосування математичної логіки
- •20. Обернене та протилежне твердження
- •21. Необхідна та достатня умови
- •22. Ознаки, властивості, означення
- •23. Доведення від супротивного
- •24. Означення логічного наслідку Будемо вивчати умовиводи такої форми:
- •25. Приклади задач на логічний наслідок
- •26. Логіка розв’язування рівнянь
- •27. Теорема про логічний наслідок Пригадуємо форму умовиводу
- •28. Одержання наслідків за посилками
- •29. Одержання посилок за логічним наслідком
- •32. Виведення формул у численні висловлень
- •33. Несуперечливість числення висловлень
- •VI. Логіка предикатів
- •34. Поняття про предикати
- •35 Означення кванторів
- •36. Зв’язок між кванторами і логічними операціями
- •37. Інтерпретація формул логіки предикатів
- •38. Рівносильні формули логіки предикатів
- •39. Нерівносильні формули логіки предикатів
- •40. Тотожно істинні формули логіки предикатів
- •41. Формули логіки предикатів, що не є тотожно істинними
- •42. Правила Де Моргана
- •43. Зв'язок між кон'юнкцією та перетином
- •44. Зв'язок між диз'юнкцією та об'єднанням
- •45. Зв'язок між запереченням і доповненням
- •46. Теорема про одноіменні квантори
- •47. Теорема про різноіменні квантори
- •43. Запис математичних тверджень мовою логіки предикатів
- •VII. Література
13. Алгоритм зведення формули до дднф
Алгоритм зведення формули до Д Д Н Ф полягає у виконанні тотожних перетворень за формулами наступних п’яти пунктів.
1.
2.
,
3.
4.
,
де
-
добуток змінних без х
5. = , де - елементарний n – місний добуток
В разі потреби для спрощення формул використовують тотожності 1 - 17
Приклад.
№34(4), стор. 15, [3]. Звести до Д Д Н Ф формулу
.
=1
=2
=3
=3
=4
=5
=6
=6
=7
=8
=8
.
Пояснення.
1)
Позбавляємось від імплікації,
використовуючи тотожність
1-го пункту алгоритму.
2) Використовуємо правило Де Моргана 2-го пункту алгоритму.
3)
Використовуємо тотожність
з тотожностей 1 – 17 та тотожність
з 3–го пункту алгоритму.
4)
Використовуємо тотожність
з тотожностей 1 – 17.
5) Використовуємо тотожність 4–го пункту алгоритму.
6)
Використовуємо тотожність
з тотожностей 1 – 17.
7) Використовуємо тотожність 4–го пункту алгоритму.
8) Використовуємо тотожність = 5–го пункту алгоритму.
14. Елементарні суми Означення. Елементарною сумою для n-місної бульової функції називають формулу, що являє собою логічний суму n різних змінних, взятих із запереченням або без нього.
Наприклад:
.
Розглянемо властивості елементарних сум.
Властивість 1. Бульова функція, що виражається елементарною сумою, приймає значення 0 і тільки на одному наборі.
Випливає з означення елементарного суми і означення диз’юнкції.
Приклади: . Ці елементарні суми приймають значення 0 відповідно на наборах 0 1 0, 0 0 0, 1 0 1, 0 1 0 1.
Властивість 2. Якщо бульова функція приймає значення 0 тільки на одному наборі, то її можна представити формулою у вигляді елементарноі суми.
Випливає з означення елементарного суми і означення диз’юнкції.
15. Означення формули у дкнф. Перехід від таблиці до формули
ДКНФ – досконала кон’юнктивна нормальна форма.
Означення. Формулою у ДКНФ для n-місної бульової функції називають логічний добуток різних n-місних елементарних сум.
Приклади:
,
.
Властивість. Кожному нулю з таблиці значень бульової функції відповідає елементарна сума, яка входить як логічний множник у відповідну формулу в Д К Н Ф.
Ця властивість випливає з 2-ої властивості елементарних сум і означення логічної операції кон’юнкція.
З властивості формул у Д К Н Ф випливає, що для того щоб записати формулою бульову функцію, яка задана таблицею, потрібно записати множниками стільки елементарних сум, скільки є нулів в таблиці значень бульової функції і проставити заперечення над тими змінними, проти яких у відповідних нульових наборах стоять одиниці.
Приклад. Бульові функції та задані таблицями своїх значень. Побудувати для них формули у Д К Н Ф.
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
0 1 1 0 1 1 1 1 |
1 0 0 0 1 0 1 1 |
0 1 1 1 1 1 1 1 |
1 1 0 1 1 1 1 1 |
1 1 1 0 1 1 1 1 |
1 1 1 1 0 1 1 1 |
1 1 1 1 1 1 1 0 |
Для кращого розуміння побудови формул, в таблиці наведені значення функцій для відповідних елементарних сум.
,
.