11. Означення формули у дднф. Перехід від таблиці до формули

ДДНФ – досконала диз’юнктивна нормальна форма.

Означення. Формулою у ДДНФ для n-місної бульової функції називають логічну суму різних n-місних елементарних добутків.

Приклади: , _, .

Властивість. Кожній одиниці з таблиці значень бульової функції відповідає елементарний добуток, який входить як логічний доданок у відповідну формулу в Д Д Н Ф.

Ця властивість випливає з 2-ої властивості елементарних добутків і означення логічної операції диз’юнкція.

З властивості формул у Д Д Н Ф випливає, що для того щоб записати формулою бульову функцію, яка задана таблицею, потрібно записати доданками стільки елементарних добутків, скільки є одиниць в таблиці значень бульової функції і проставити заперечення над тими змінними, проти яких у відповідних одиничних наборах стоять нулі.

Приклад. Бульові функції та задані таблицями своїх значень. Побудувати для них формули у Д Д Н Ф.

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	1 0 0 1 0 0 0 0	0 1 1 1 0 1 0 0	0 0 0 1 0 0 0 0	1 0 0 0 0 0 0 0	0 1 0 0 0 0 0 0	0 0 1 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 1 0 0

Для кращого розуміння побудови формул, в таблиці наведені значення функцій для відповідних елементарних добутків.

_{= ,} = .

12. Теорема про представлення бульової функції формулою у дднф

Теорема. Довільну бульову функцію, що не дорівнює тотожно нулю, можна представити формулою у Д Д Н Ф.

Доведення. Нехай бульова функція задана таблицею значень. В цій таблиці повинна бути хоч одна одиниця, бо тотожно хибна формула в Д Д Н Ф не представляється.

x1 x2 ... xn-1 xn					...
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 ....................... 1 1 1 0 1 1 1 1	0 1 0 1 ... 1 0	0 1 0 0 ... 0 0	0 0 0 1 ... 0 0	0 0 0 0 ... 0 0	... ... ... ... ... ... ...	0 0 0 0 ... 1 0

Для функції будуємо допоміжні функції _{, , ,} ..., так, щоб кожній одиниці функції відповідала одна і тільки допоміжна функція яка приймає значення 1 на тому ж наборі, що і функція . Запишемо допоміжні функції формулами в формі елементарних добутків.

= _, = _, = _{, ...,} = .

Хвилясті лінії над змінними означають, що заперечення може бути, а може і не бути. Ці формули допоміжних функцій відрізняються одна від одної розташуванням заперечень. Доведемо рівність = ... .

Доведення: ... = .

Наслідок. Представлення бульової функції формулою у Д Д Н Ф єдине з точністю до розташування логічних доданків і логічних співмножників в них.

Наслідок випливає з теореми і з того, що представлення бульової функції таблицею єдине.