7. Функціонально повний набір логічних операцій

Означення. Набір логічніх операцій, за допомогою якого можна представити формулою довільну n-місну бульову функцію, називають функціонально повним.

Теорема. Набір логічних операцій ¯ , , , , є функціонально повним .

Для двомісних бульових функцій теорема виконується, бо ми тільки-що записали за допомогою цих логічних операцій всі двомісні бульові функції. Використовуючи метод математичної індукції, можна довести теорему і для n-місних бульових функцій.

Покажемо, що функціонально повний набір (ФПН) логічних операцій може містити меншу кількість операцій.

№	Ф П Н	Обґрунтування
1	¯ , , , ,	Теорема про Ф П Н
2	¯ , , ,
3	¯ , ,
4	¯ ,
5	¯ ,
6	/	= x/ y
7		= x y

ІІІ. Бульова алгебра

8. Означення бульової алгебри

Запишемо основні тотожності бульової алгебри.

1. x y=y x

2. x y=y x

3. x (y z)=(x y) z

4. x (y z)=(x y) z

5. x (y z)=(x y) (x z)

6. x (y z)=(x y) (x z)

7. =

8. =

9. x x=x

10. x x=x

11. x 0=x

12. x 1=x

13. x =1

14. x =0

15. x 1=1

16. x 0=0

17. =x

Тотожності 1 – 6 виражають комутативний (переставний), асоціативний (сполучний), дистрибутивний (розподільний) закони відповідно для диз’юнкції та кон’юнкції. Тотожності 7- 8 мають назву правил Де Моргана. Тотожністі 13 та 14 називають відповідно законами виключеного третього та суперечності. Звичайно, всі тотожності виконуються в алгебрі висловлень.

Означення. Бульовою алгеброю називають числення висловлень, в якому операції заперечення, кон’юнкція та диз’юнкція (¯ , , ) визначаються тотожностями 1 -- 17.

9. Доведеня тотожностей в бульовій алгебрі

Якщо в алгебрі висловлень два основних питання (рівносильність і тотожня істинність) вирішуються таблицями істинності, то в бульовій алгебрі ці ж питання вирішуються за допомогою тотожних перетворень. Доведемо наступні дві тотожності:

18. x xy=x

19. x(x y)=x

Спочатку доведемо, що ці тотожності еквівалентні, тобто, якщо виконується одна з них, то інша теж виконується.

x xy =⁶ ( x x ) ( x y )=⁹ x ( x y ).

Ми довели, що ліві частини обох тотожностей є рівносильні формули, з чого і випливає еквівалентність обох тотожностей. Тепер доведемо одну з цих тотожностей.

x xy =¹² (x 1) (x y)=⁵ x (1 y)=¹ x (y 1)=¹⁵ x 1=¹² x.

Як бачимо, дослідження формул за допомогою тотожних перетворень значно складніше, ніж за допомогою таблиць. Такими тотожними перетвореннями не можна дослідити нерівносильні формули. Тому в бульовій алгебрі вводять формули у досконалих формах, які відіграють таку ж роль, що й таблиці істинності алгебри висловлень.

10. Елементарні добутки

Починаємо вивчати формули у досконалих формах. Цих форм є дві:

Д Д Н Ф – досконала диз’юнктивна нормальна форма.

Д К Н Ф – досконала кон’юнктивна нормальна форма.

Означення. Елементарним добутком для n-місної бульової функції називають формулу, що являє собою логічний добуток n різних змінних, взятих із запереченням або без нього.

Наприклад: _.

Розглянемо властивості елементарних добутків.

Властивість 1. Бульова функція, що виражається елементарним добутком, приймає значення 1 і тільки на одному наборі.

Випливає з означення елементарного добутку і означення кон’юнкції.

Приклади: _. Ці елементарні добутки приймають значення 1 відповідно на наборах 1 0 1, 1 1 1, 0 1 0, 1 0 1 0.

Властивість 2. Якщо бульова функція приймає значення 1 тільки на одному наборі, то її можна представити формулою у вигляді елементарного добутку.

Випливає з означення елементарного добутку і означення кон’юнкції.