5. Рівносильні та тотожно істинні формули алгебри висловлень

Означення. Дві формули алгебри висловлень, що виражають одну і ту ж бульову функцію, називаються рівносильними.

Бульова функція визначається таблицею однозначно, тому для перевірки рівносильності двох формул достатньо побудувати для них таблиці істинності і порівняти.

Приклад: Перевірити на рівносильність формули та .

a b			b
0 0 0 1 1 0 1 1	1 1 0 1	1 1 0 0	1 1 0 1

Значення в таблицях істинності співпадають, тому = b.

Означення. Формула алгебри висловлень, для якої відповідна бульова функція приймає значення 1 на всіх наборах, називається тотожно істинною.

Приклад. Перевірити, чи тотожно істинною є формула .

a b
0 0 0 1 1 0 1 1	1 0 1 1	1 1 1 1

Відповідна бульова функція приймає значення 1 на всіх наборах, тому .

6. Огляд всіх можливих 2- місних бульових функцій

Підрахуємо кількість всіх можливих двомісних бульових функцій.

|_n=2=

Побудуємо таблицю істинності для всіх цих функцій.

x y	F1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	F13	f14	f15	f16
0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 0 0	1 1 1 1	0 0 1 1	1 1 0 0	0 1 0 1	1 0 1 0	0 0 0 1	1 1 1 0	0 1 1 1	1 0 0 0	1 1 0 1	0 0 1 0	1 0 1 1	0 1 0 0	1 0 0 1	0 1 1 0

Запишемо формулою кожну з побудованих функцій.

Висновок. Введених нами п’яти логічних операцій ¯ , , , , достатньо для того, щоб записати формулою довільну двомісну бульову функцію.

Функції і визначають операції кон’юнкцію і диз’юнкцію. За допомогою функцій та можна ввести ще дві логічні операції /, : = = x/ y, = = x y. Ці операції використовують в техніці. Першу з них називають штрих Шеффера, а другу називають стрілка Пірса.