35 Означення кванторів
(
х)
– квантор загальності. (
х)Р(х)
– читають: „для всіх х виконується
Р(х)”, „для всіх х істинне Р(х)”.
( х) – квантор існування. ( х) – читають: „існує х, що виконується Р(х)”, „існує х, що істинно Р(х)”
Нехай Р*(х), х М – конкретний предикат.
Означення квантора загальності.
Означення квантора існування.
Говорять,
що квантор зв’язує змінну. Логічне
значення виразу не залежить від змінної,
що зв’язана квантором. Наприклад, для
вираз
є хибним висловленням, а вираз
є істинним висловленням.
36. Зв’язок між кванторами і логічними операціями
Нехай
конкретний предикат визначений на
множині
.
Доведемо, що
…
Доведення:
і
і
……
….і …
Висновок: Квантору загальності відповідає операція кон’юкція для випадку скінченної множини визначення предикатів.
Доведемо,
що
…
Доведення:
і
і
……
….і …
В
исновок:
Квантору існування відповідає операція
диз’юкція для випадку скінченної
множини визначення предикатів.
37. Інтерпретація формул логіки предикатів
Під інтерпретацією формул логіки предикатів розуміють всяке заміщення всіх предикатних змінних конкретними предикатами і заміщення всіх вільних предметних змінних елементами з множини визначення предикатів. Тут йде мова про інтерпретацію як процес заміщення. З іншого боку, інтерпретація це висловлення, яке одержується з предикатної формули в результаті всіх заміщень.
Приклад:
Нехай
.
Побудуємо інтерпретацію
для
.
замінимо на
,
а
на
.
Одержуємо:
.
Формула
містить вільну змінну
,
тому
є предикат від змінної
.
Поклавши
,
одержуємо висловлення
.
Для визначення значення істинності
цього висловлення спочатку виконаємо
аналіз:
і
і
.
Тут логічні константи
.
Тепер виконуємо синтез:
і
і
.
Одержали,
що висловлення істинне.
38. Рівносильні формули логіки предикатів
Означення: Дві формули логіки предикатів, що набувають однакових значень істинності на множині М, називаються рівносильними на цій множині.
Означення: Дві формули логіки предикатів, що рівносильні на довільній множині М, називаються рівносильними.
Приклад:
Довести
що
.
,
.
Виконаємо
інтерпретацію.
,
,
де
та
конкретні предикати на довільній множині
.
Доведення:
.
Ми
припустили, що
і довели, що
і навпаки. При інтерпретації на довільній
множині формули
та
приймають однакові значення істинності.
Тому вони рівносильні, тобто
.
При доведенні ми виконували загальні міркування. Для переходу від предиката до висловлення і навпаки використовували означення кванторів.
39. Нерівносильні формули логіки предикатів
Ознака нерівносильних формул. Для того щоб дві формули були нерівносильні, достатньо, щоб вони хоч при одній інтерпретації прймали різні значення істинності.
Для доведення нерівносильності формул логіки предикатів використовують контрприклад, тобто підбирають таку інтерпретацію, щоб формули перетворились у висловлення з різними значеннями істинності.
Приклад: Довести нерівносильність формул.
,
.
Будуємо
інтерпретацію формул
та
.
Замінимо
конкретним предикатом
(
-
)
для
.
Одержуємо:
,
.
Формули
та
ще не висловлення, вони є предикатами
від змінної
.
Поклавши
,
одержуємо два висловлення
,
..
Використовуючи
метод аналізу та синтезу, визначимо
формально істинність цих висловлень
і доведемо, що вони мають різні значення
істинності.
1 |
|
. |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
. |
5 |
|
. |
. |
.
.
.
.
Одержали:
.