32. Виведення формул у численні висловлень

Почнемо з прикладів. Довільну істинну формулу позначимо буквою

Довести ┝

1) , аксіома 1₁

2) , заміна на

3) , істинна формула

4) , висновок з 2,3

5) , заміна на

Довести ┝

1) , аксіома 1₂

2) , заміна на

3) , аксіома 1₁

4) , висновок з 2,3

5) , заміна на

6) , висновок з 3,5

Як видно з прикладів, для формального доведення використовують пронумеровані рядки. В кожному рядку записують тільки істинну формулу і обов’язково обґрунтовують її істинність. Пояснення можуть бути такі: аксіома, висновок, заміна, раніше доведено, істинна формула. В останньому рядку записують доведену формулу.

33. Несуперечливість числення висловлень

Означення. Теорію, в якій не можна довести деяке твердження і його заперечення, називають несуперечливою.

При доведенні несуперечливості числення висловлень будемо використовувати алгебру висловлень. Алгебра висловлень несуперечлива, бо висловлення не може бути одночасно істинним і хибним. Розглянемо кілька допоміжних тверджень.

1) Аксіоми числення висловлень є тотожно істинними формулами в алгебрі висловлень. Це встановлюється прямою перевіркою (таблиці, тотожні перетворення). ( ДС )

2) Правила виведення справедливі в алгебрі висловлень.

а) Правило підстановки. ┝ ┝ , де та - довільні буква та формула. В алгебрі висловлень , бо елементарне висловлення приймає два значення , складне висловлення не більше.

б) Правило висновку. (┝ ┝ ) (┝ ). В алгебрі висловлень

( ) ( ) випливає з означення імплікації.

3) Всі істинні формули числення висловлень є тотожно істинними в алгебрі висловлень.

Випливає з перших двох тверджень.

Теорема. Числення висловлень несуперечливе.

Доведемо цю теорему методом від супротивного. Припустимо, що ┝ і ┝ . З третього допоміжного твердження одержуємо ┝ і далі ┝ . Одержали протиріччя, що і доводить теорему.

VI. Логіка предикатів

34. Поняття про предикати

Розглянемо приклади висловлень 1>3, 2>3, 3>3, 4>3 і т. д. Виділимо в цих висловленнях предмети 1, 2, 3, 4 і т. д. і властивість „>3” цих предметів. Для позначення предметів використаємо змінну „х”. Одержуємо предикат х>3. Для предиката обов’язково треба вказати множину для значень х. Можна вказати х N, а можна і х = {1,2,3,4,5}. Говорять, що предикат х>3 одномісний, а х> y та x+ y = z, ( x,y,z N), відповідно двомісний і трохмісний предикати. Ці предикати можна позначити відповідно P₁(x), P₁(x,y), P₁(x,y,z).

Індекси вказують на те, що йде мова про конкретний предикат. При підставленні в конкретний предикат замість предметних змінних x,y,z їх конкретних значень з множини визначення предикатів одержуємо висловлення, які істинні або хибні. Наприклад P₁(2)=0, P₁(7,6)=1, P₁(2,3,5)=1, що означає 2>3 - хибно, 7>6 - істинно, 2+ 3 = 5 – істинно.

Означення. Предикатом (предикатною функцією) від змінних називають функцію що набуває двох значень 0 або 1 при будь-яких конкретних значеннях її аргументів.

Говорять, що n – місний предикат визначений на множині М. Для предикатів виконуються логічні операції ¯ , , , , , ( заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквівалентність ). Формули логіки предикатів будують за тими же правилами, що і формули алгебри висловлень. Наприклад:

, , .