Зміст

Вступ.............................................................................................................................	3
Виникнення та значення математичної логіки........................................................	3
Алгебра висловлень..................................................................................................	4
Означення логічних операцій...................................................................................	4
Формули алгебри висловлень.................................................................................	5
Бульові функції та їх властивості............................................................................	5
Рівносильні та тотожно істинні формули алгебри висловлень...........................	6
Огляд всіх можливих 2- місних бульових функцій.................................................	7
Функціонально повний набір логічних операцій.....................................................	8
Бульова алгебра.........................................................................................................	8
Означення бульової алгебри...................................................................................	8
Доведеня тотожностей в бульовій алгебрі.............................................................	9
Елементарні добутки................................................................................................	9
Означення формули у ДДНФ. Перехід від таблиці до формули...........................	10
Теорема про представлення бульової функції формулою у ДДНФ.....................	11
Алгоритм зведення формули до ДДНФ..................................................................	11
Елементарні суми.....................................................................................................	12
Означення формули ДКНФ. Перехід від таблиці до формули..............................	12
Теорема про представлення бульової функції формулою у ДКНФ......................	13
Алгоритм зведення формули до ДКНФ...................................................................	14
Рівносильні та тотожно істинні формули в бульовій алгебри.............................	15
Зв’язок між рівносильними і тотожно істинними формулами.............................	15
Застосування математичної логіки ........................................................................	15
Обернене та протилежне твердження....................................................................	15
Необхідна та достатня умови..................................................................................	16
Ознаки, властивості, означення..............................................................................	17
Доведення від супротивного....................................................................................	18
Означення логічного наслідку..................................................................................	19
Приклади задач на логічний наслідок.....................................................................	19
Логіка розв’язування рівнянь…………………………………………………………….	20
Теорема про логічний наслідок…………………………………………………………	21
Одержання наслідків за посилками…………………………………...............………	22
Одержання посилок за логічним наслідком………………………..………...............	22
Поняття про релейно - контактні схеми……………………………...................……	23
Числення висловлень…………………………………………………………………….	23
Означення числення висловлень………………………………………………………	23
Виведення формул у численні висловлень…………………………………………..	24
Несуперечливість числення висловлень……………………………………………...	25
VI. Логіка предикатів……………………………………………………………………………	25
Поняття про предикати…………………………………………………………………..	25
Означення кванторів……………………………………………………………………...	26
Зв’язок між кванторами і логічними операціями……………………………………..	26
Інтерпретація формул логіки предикатів ..............................................................	26
Рівносильні формули логіки предикатів…………………………………............…...	27
Нерівносильні формули логіки предикатів.............................................................	27
Тотожно істинні формули логіки предикатів.........................................................	28
Формули логіки предикатів, що не є тотожно істинними.....................................	28
Правила Де Моргана................................................................................................	29
Зв'язок між диз'юнкцією та об'єднанням ……………………………………….. …..	29
Зв'язок між кон'юнкцією та перетином
Зв'язок між запереченням і доповненням
Теорема про одноіменні квантори
Теорема про різноіменні квантори
Запис математичних тверджень мовою логіки предикатів
Література..................................................................................................................	31

І. Вступ

1. Виникнення та значення математичної логіки

Математична логіка виникла в середині XIX ст. завдяки потребам математики. Основне завдання математичної логіки – обслуговувати математику. Виникнення математичної логіки пов’язують з виходом у 1847р. книги англійського математика Джоржа Буля „Математичний аналіз логіки”. У створення математичної логіки значний вклад вніс і англійський математик Август де Морган. В Росії професор Казанського університету

П.С. Порецький (1846-1907), що читав розгорнутий курс математичної логіки, так охарактеризував математичну логіку: математична логіка – це логіка за своїм змістом і математика за своїм методом. Тобто, математична логіка виникла як застосування математичних методів до формальної логіки Аристотеля, яка була створена ним ще в IV-му ст. до н.е. В формальній логіці були описані закони і форми правильного мислення.

Як було відмічено, потреби математики привели до виникнення математичної логіки. В XIX ст. математика починає оперувати незвичними образами, поняттями, які дуже важко або й не можливо наочно уявити. Основними для математиків стали питання логічного обґрунтування доведень. Пригадаємо історію з 5-м постулатом Евкліда. Ще в 4-му ст. до н.е. Евклід створив аксіоматичну геометрію, яка на протязі багатьох століть вражала математиків своїм високим математичним рівнем. Але ще стародавнім грекам одна аксіома здавалась не очевидною. Це відомий 5-ий постулат Евкліда: Через точку, що не лежить на прямій, можна провести тільки одну пряму, що не перетинається з даною. Протягом наступних століть робилося дуже багато спроб вивести цей постулат з інших аксіом геометрії Евкліда. Але всі ці спроби були марними. Питання вирішилось, коли в 20-х роках XIX ст. російський математик М. І. Лобачевський сформулював 5-ий постулат в де що іншій формі: Через точку, що не лежить на прямій, можна провести дві прямі, що не перетинається з даною. Всі інші аксіоми залишились без змін. І на основі цієї системи аксіом за допомогою логічних міркувань Лобачевский побудував геометрію, в якій об’єкти мають незвичні властивості.

Геометрія Лобачевського була одним з перших кроків на шляху виникнення нових великих галузей математики, що зародились у XIX ст. і успішно розвиваються ось уже протягом 150 років. Особливо великий вплив на розвиток всієї математики мало виникнення створеної Г. Кантором ( 1845-1918) теорії множин, бо теорія множин стала тим фундаментом, на основі якого будувались різні математичні теорії. Але на початку XX ст. в самій теорії множин були побудовані так звані парадокси. Визначне місце в розвитку математики займає парадокс Рассела ( [ 3 ], с. 6 ). Ці парадокси означали, що міркування правильні з точки зору канторової теорії множин, можуть привести до суперечності. Парадокси теорії множин призвели до кризи в основах математики. З’явились різні критичні напрями, які ставили під сумнів ряд визначних досягнень в математиці, побудованих на базі канторової теорії множин. В боротьбі різних напрямів в основах математики було ґрунтовно проаналізовано суть парадоксів теорії множин, і в цьому велика заслуга математичної логіки. Розвиток методів математичної логіки дозволив довести принципову нерозв’язність основних проблем теорії множин.

Для аксіоматичних теорій математична логіка дає можливість досліджувати питання про незалежність, несуперечність і повноту. Незалежність системи аксіом означає, що жодна аксіома не виводиться з інших аксіом. Несуперечність означає, що не існує коректно сформульованого твердження, яке разом із запереченням цього твердження виводиться з системи аксіом. Повнота означає, що аксіом в системі достатньо для того, щоб дослідити всі коректно сформульовані в даній теорії твердження. Визначний результат, що стосується питання повноти аксіоматичних теорій, одержав видатний математик К. Гьодель в 1931 р. Він, зокрема, довів, що ніяка скінчена система аксіом елементарної арифметики не є повною. Мова йде про елементарну арифметику, бо це найпростіший розділ з аксіоматичної математики. При дослідженні інших розділів використовують елементарну арифметику.

З ідей математичної логіки в 30-х роках XX ст. виникло точне означення поняття алгоритму. Це, в свою чергу, дозволило довести існування в різних традиційних розділах математики нерозв’язних алгоритмічних проблем. Відкриття точного поняття алгоритму дало можливість з інших сторін підійти до ряду питань основ математики.

Апарат математичної логіки знаходить застосування в обчислювальній математиці і в техніці у зв’язку з конструюванням автоматичних пристроїв. Значний вклад у розвиток теорії комп’ютерів вніс наш український вчений В.М. Глушков (1923 -1982).

ІІ. Алгебра висловлень

2. Означення логічних операцій

Основними об’єктами алгебри висловлень є елементарні висловлення. Кожне елементарне висловлення обов’язково повинно бути або істинним, або хибним. Будемо позначати елементарні висловлення малими латинськими буквами a, b, c, …, x, y, z,… Значення істинності позначають буквою І або цифрою 1, значення хибності – Х або 0.

Приклади елементарних висловлень: 2 > 3, 2 × 2 = 4, „ сніг білий ”, „ парта чорна ”. Елементарним висловленням відповідають прості речення української мови, в яких щось стверджується. Складні речення містять сполучники і є прикладами складних висловлень.

Сполучникам „і”, „або”, „якщо..., то...”, слову „еквівалентно” та частці „не” в алгебрі висловлень відповідають логічні операції „кон’юнкція”, „диз’юнкція”, „імплікація”, „еквівалентність” та „заперечення”. Позначають ці операції символами:

 ,  , ,  , ¯ .

Дамо означення логічних операцій:

0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 0 1	0 1 1 1	1 1 0 1	1 0 0 1	1 1 0 0

Відмітимо ще:

- „кон’юнкція”, „логічне множення”, читають: „x і y”.

- „диз’юнкція”, „логічне додавання”, читають: „x або y”, “або” в нероздільному розумінні.

- „імплікація”, „логічне слідування”, читають: „якщо x, то y”, „з х слідує (випливає) у”.

- „еквівалентність”, читають: „x еквівалентно y”.

¯ - заперечення, читають: „не x”