Задача с2 Равновесие тела под действием пространственной системы сил

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5кН со сторонами АВ = , ВС = закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем (рис. С2.0 - С2.9).

На плиту действуют пара сил с моментом М = 6кН·м, лежащая в плоскости плиты и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы и в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила - в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости, параллельной уz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Таблица С2

Сила
Номер условия	F1 = 4 кH		F2 = 6 кH		F3 = 8 кH		F4 = 10 кH
	Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
0	D	60	-	-	E	0	-	-
1	H	90	D	30	-	-	-	-
2	-	-	E	60	-	-	D	90
3	-	-	-	-	E	30	H	0
4	E	0	-	-	H	60	-	-
5	-	-	D	60	H	0	-	-
6	-	-	H	30	-	-	D	90
7	E	30	H	90	-	-	-	-
8	-	-	-	-	D	0	E	60
9	-	-	E	90	D	30	-	-

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять = 0,8 м.

Указания. Задача С2 - на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы тоже часто удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям; тогда по теореме Вариньона

Пример с2.

Найти реакции опор конструкции Дано: G=5 кН; a=20 см; b=50 см; с=30 см. _______________ Найти: XA, ZA, XB, ZB, SCD.

Рис. 4

Решение:

К конструкции приложена сила тяжести, в точках А и В опоры в виде петель, в точке С закреплён стержень.

Рис. 5

Отбросим связи и заменим их реакциями. Реакции петель определяются двумя составляющими, действующими вдоль осей Ох и Оу: . Реакция стрежня направлена вдоль него в предположении, что стержень растянут. Из всех действующих сил – пять неизвестны. Составим пять уравнений равновесия:

Из этих уравнений получаем:

Ответ. X_A=-0,55 кН, Z_A =2,19 кН, X_B =-0,90 кН, Z_B =0,31 кН, S_CD =-2,89 кН

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Кинематика точки. Координатный способ задания движения точки.

Точка В движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями; , , где х и у выражены в сантиметрах, t - в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Таблица К1.1

Предпоследняя цифра шифра
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Зависимость дана в табл. К1.1, а зависимость - табл. К1.2.

Таблица К1.2

Последняя цифра шифра
	предпоследняя цифра шифра 0-2	предпоследняя цифра шифра 3-6	предпоследняя цифра шифра 7-9
1	2	3	4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

.

Пример К1. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t₁(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Дано:

х=7t²-3, см;

у=5t, см;

t₁=1/4 с.

Найти: вид траектории, положение точки, v, a, a_τ, a_n, ρ.

Решение:

1) Исключим время t из уравнений движения: t= , тогда у=5 . Таким образом получаем вид траектории - это парабола.

2) Определим положение точки на траектории в момент времени t₁:

х=7t₁² -3=7·0,25²-3=-2,56 см;

у=5t₁=5·0,25=1,25 см.

3) Определим скорость точки. Вектор скорости точки: ,

где , - орты осей х и у; v_х, v_y – проекции скорости точки на оси координат.

Продифференцируем по времени уравнения движения:

v_х = ;

v_y = см/с.

В момент времени t₁: v_х=14·0,25=3,5 см/с; v_y=5 см/с.

Модуль скорости: =6,1 см/с.

4) Определим ускорение точки. Вектор ускорения точки: ,

где а_х, а_y – проекции ускорения точки на оси координат.

Продифференцируем по времени уравнения скорости:

а_х = см/с²;

а_y = см/с².

Модуль ускорения: =14 см/с².

5) Касательное ускорение точки: a_τ = =8,03 см/с².

6) Модуль нормального ускорения точки определяется из выражения:

, отсюда =11,5 см/с².

7) Радиус кривизны траектории определяется из формулы:

a_п = , отсюда =0,53 см.

Ответ: v₁ = 6,1см/с, a₁ = 14см/с², = 8,03 см/с², a_1n = 11,5 см/с², = 0,53 см.