Добавил:

Krevedko Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

Гидравлика и гидропривод

Файл:

Книги / Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г

.pdf

Скачиваний:

265

Добавлен:

12.06.2014

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Выражение (3.181) представляет собой уравнение Бернулли. Уравнение Бернулли, в основном, применяется для несжимаемых жидкостей.

Для идеального газа, движущегося с большой скоростью уравнение движения, учитывающее сжимаемость, можно получить из выражения (3.175),

при этом используют уравнение состояния идеального газа ( p = ρRT );

уравнение Майера ( cp − cυ = R ) и выражение для показателя адиабаты (	cp	= k ,
	cυ

где k – постоянная адиабаты). Более подробно эти выражения будут рассмотрены второй части, посвященной основам термодинамики.

cpT +

= const ;

(3.182)

= const ;

(3.183)

ρR

= const .

(3.184)

cp − cυ

Поделив в умножив уравнение (3.184) на сυ – массовую изохорную теплоемкость газа, получим выражение вида

k p			w2
		+		= const ,	(3.185)
k −1	ρ		2

которое будет представлять собой уравнение Бернулли для газа, где

соотношением k k−1 учитывается сжимаемость среды.

3. Скорость звука

Если в несжимаемой среде в некоторой точке изменить давление на величину ∆p, то во всей области, занятой несжимаемой средой, давление

мгновенно измениться на ту же величину, т.е. скорость распространения возмущений равна бесконечности. Иначе обстоит дело с распространением малых возмущений в упругих средах. Эти возмущения распространяются как

упругие волны со скоростью

a =	E	,	(3.186)
	ρ

где E – модуль объемной упругой деформации среды.

В сжимаемой среде под влиянием изменения давления на величину ∆p происходит изменение объема на величину ∆V.

Таким образом,

dp = −E dV .	(3.187)
V

Сжимаемость среды можно охарактеризовать коэффициентом

сжимаемости βV , поэтому модуль упругой деформации будет равен

E =	1	.	(3.188)

	βV

Следовательно скорость распространения малых возмущений

a =	1		dp
a =	ρβV	=	dρ .	(3.189)

Величина a – называется скоростью звука. Из уравнения (3.189) следует,

что скорость звука является мерой сжимаемости среды.

Применяя уравнение состояния идеального газа и дифференциальное уравнение адиабаты:

	k dυ		+ dp		= 0	,	(3.190)
		υ		p			(3.190)
получим, что
a = −υ	2	dp		=	kpυ = kRT .
a = −υ				=	kpυ = kRT .		(3.191)
		dυ					(3.191)
		dυ

Безразмерная величина, которая является определяющим параметром при движении сжимаемых сред, называется числом Маха и определяется

выражением вида

M = w .	(3.192)
a

Выражение (3.192) представляет собой отношение скорости потока к скорости звука.

4. Скорость и расход газа. Газодинамические функции

Рассмотрим адиабатное одномерное течение идеального газа.

Воспользуемся уравнением энергии в форме (3.173). Разделим левую и правую

часть этого уравнения на h :

=1 −

(3.193)

wmax

где wmax = 2h – максимально возможная скорость течения газа.

При w = wmax h = 0 ,

следовательно,

T = 0 и p = 0 ,

что соответствует

условиям расширения потока до полного вакуума.

Из уравнения адиабаты в форме pυk = const следует

k−1

;

k−1

(3.194)

Подставив эти выражения в уравнение (3.193), получим

k−1

(3.195)

= 1

−

;

= 1

−

max

Таким образом, c ростом скорости от 0 до wmax параметры потока непрерывно уменьшаются и стремятся к 0 (рис. 3.14). Это обстоятельство существенно отличает движение газа от движения несжимаемой среды, где плотность при любом изменении скорости оставалась постоянной.

Найдем выражение для скорости звука при адиабатном течении газа. Используя выражение для скорости звука можно записать, что

a2 = kRT ; a 2 = kRT ;

a2	=		T	;
a 2		T

=1 −

;

a 2

wmax2

k−1

;

(3.196)

(3.197)

(3.198)

(3.199)

Из соотношений видно, что с увеличением скорости потока скорость звука

в нем уменьшается. Скорость звука a − называется местной скоростью звука. Установим зависимости параметров потока от числа M.

= 2h = 2

k p

a 2 ,

(3.200)

k −1 ρ

k −1

max

−1

= a

−

= a

−

(3.201)

max

Рис. 3.14. Зависимость газодинамических параметров от скорости потока

Поделим обе части уравнения на a2 получим

a 2

=1 + k −1 M 2 .

(3.202)

Тогда

k −1

k−1

(3.203)

= 1

;

= 1 +

;

Помимо приведенных зависимостей в технических расчетах используются формулы, которыми устанавливается связь между параметрами потока и

числом λ = w , называемым часто коэффициентом скорости. Здесь aкр –

aкр

критическая скорость, под которой подразумевают скорость потока, равную скорости звука. При w = aкр числа M = 1 и λ = 1.

Из соотношения (3.202) следует, что

a 2 = k −1 w2

;

(3.204)

k +1

кр

k +1

max

pкр

ρкр

Ткр

k−1

;

k−1

;

(3.205)

k +1

Таким образом, критические параметры зависят только от параметров торможения и показателя адиабаты, причем критические параметры всегда

меньше параметров торможения.

Используя уравнение (3.204) получим выражения:

k +1 2 w2

k +1

2 w2

= k −1aкр

;

(3.206)

aкр2

wmax2

k −1

wmax2

Поэтому

k −1

τ(λ)=

=1 −

λ2

;

a 2

k +1

k −1

(3.207)

π(λ)=

k−1

= 1

−

;

k +1

k −1

ε(λ)=

k−1

= 1

−

k +1

Вуравнении (3.207) τ(λ), π(λ), ε(λ) представляют собой

газодинамические функции. Эти функции широко используют в практических расчетах, их значения приведены в справочной литературе для различных значений показателя адиабаты k.

Из вышеприведенных уравнений следует, что связь между М и λ имеет следующий вид

k +1

= M

(3.208)

k −1

−

M 2

Получим выражения для расхода газа. Из уравнения (3.163) можно

выразить расход газа:

aкр

k −

G =

= ρwF = ρ

F = ρ

−

k−1

F =

кр

λ 1

aкр

k +

(3.209)

k−1

aкрFq(λ)= ρкрaкрFq(λ)

k +1

где F – площадь сечения струи.

В формуле (3.209)

ρw

k +

−1

q(λ)=

k−1

(3.210)

λ 1

−

ρкрaкр

Из выражения (3.210) видно¸ что функция q(λ) обращается в нуль при

λ = 0 и при

λ =

k +1 ,

что соответствует

w = w

. Поэтому на основании

k −1

max

теоремы Ролля в указанном интервале эта функция имеет хотя бы один экстремум.

Определим производную q(λ) по λ и приравняем ее нулю. Находим, что

максимум функции q(λ) будет при w = aкр .

Функция q(λ) оказывается очень удобной при расчете площади струи. Из

постоянства массового расхода при установившемся течении следует

ρwF = ρкрwкрFкр ,

(3.211)

(3.212)

Fкр

q(λ)

k+1

k −1

k+1

2( k−1 )

(3.213)

Fкр

k +1

Изменение площади сечения струи в зависимости от числа М представлено на рис. 3.15.

Рис. 3.15. Зависимость площади сечения струи от числа Маха

Из рис. 3.15 следует, что одному и тому же значению отношения площадей соответствуют два значения числа Маха: дозвуковое и сверхзвуковое.

5. Зависимость изменения площади сечения струи от скорости потока

Определим изменение площади сечения струи от скорости потока. Из уравнения (3.163) при постоянстве расхода, можно получить уравнение вида

dρρ + dFF + dww = 0 .

На основании уравнений (3.179) и (3.189) следует, что

w2	dw	= −	dρ
a2	w		ρ

или

dρρ = −M 2 dww .

Подставим выражение (3.216) в (3.214): dFF = (M 2 −1)dww .

(3.214)

(3.215)

(3.216)

(3.217)

Соотношение (3.217) устанавливает связь между относительным изменением площади струи dFF и относительным изменением скорости dww .

Видно, что при ускоренном движении дозвукового потока (M < 1) площадь сечения струи уменьшается, в то время как при (M > 1) площадь ее сечения увеличивается. Замедление движения, наоборот, происходит в случае увеличения площади сечения струи дозвукового потока и при уменьшении ее для сверхзвукового.

Таким образом, чтобы получить сверхзвуковую скорость потока в струе, площадь ее сечения необходимо сначала уменьшать, а затем увеличивать. Канал с указанным изменением площади сечения называется соплом Лаваля

(рис. 3.16).

Рис. 3.16. Профиль сопла Лаваля

Соплами называются каналы, в которых происходит расширение газа с уменьшением давления (dp < 0) и увеличением скорости (dw > 0).

Таким образом, в сужающейся части сопла Лаваля w < a, при этом скорость стремится увеличится до скорости звука a. В самом узком сечении сопла Лаваля скорость потока равна скорости звука (критической скорости), поэтому это сечение называется критическим. В расширяющейся части сопла Лаваля газ продолжает расширяться, при этом w > a.

4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

4.1. Сопротивления по длине

Первопричиной потерь энергии является сила внутреннего трения (вязкости), однако ее действие проявляется по-разному. Твердые неподвижные границы стенки всегда оказывают тормозящее действие на поток, которое называется гидравлическим сопротивлением. В общем случае потери энергии в гидравлических сопротивлениях слагаются из потерь в сопротивлениях по длине и в местных сопротивлениях.

Рассмотрим движение жидкости в прямой трубе постоянного сечения F с некоторой постоянной скоростью w (рис. 4.1). Из баланса сил, действующих на выделенный объем жидкости, ограниченный двумя поперечными сечениями и

внутренней поверхностью трубы, имеем
(p2 − p1 )F =τw Pl ,	(4.1)

где p1 и p2 – давление потока в выбранных поперечных сечениях; τw − касательное напряжение трения на поверхности стенки; P – периметр проточной части в поперечном сечении; l – расстояние между выбранными сечениями.

Таким образом,	(p2 − p1 )F
τw =	(p2 − p1 )F	.	(4.2)
τw =	Pl	.
	Pl
А для труб круглого сечения
τw =	(p2 − p1 )d	,	(4.3)
	4l		(4.3)

где d – диаметр трубы.

Напряжение трения τw принято выражать через коэффициент гидравлического сопротивления (коэффициент сопротивления трения) ζ и

динамическое давление (скоростной напор) ∆pд
τw =	ξ	∆pд =	ζ ρw2		.	(4.4)
	4		4	2

Коэффициент сопротивления трения в общем случае зависит от конфигурации граничных поверхностей и Re (числа Рейнольдса). Понятие конфигурации включает в себя форму поперечного сечения и шероховатость стенок.

Рис. 4.1. Движение жидкости в трубе

Характер этих зависимостей исследовался Блазиусом, Прандтлем, Никурадзе, Альтшулем, Шевелевым и др.

По данным опытов Никурадзе для круглых труб зависимости ζ от числа Re и шероховатости стенок имеют вид, показанный на рис. 4.2. В опытах Никурадзе шероховатость создавалась искусственно (песочная шероховатость

– плотная, однородная, равномерная) и оценивалась средним размером выступа ∆.

Исследования показали следующие возможные зависимости ζ от Re и шероховатости ∆.

При ламинарном режиме течения ( Re < 2300 ) шероховатость поверхности не оказывает значимого влияния на ξ, при этом закон сопротивления имеет вид

	64
ζ =	Re .	(4.5)

При турбулентном режиме течения ( Re >104 ) закон сопротивления зависит от соотношения между высотой элементов шероховатости и вязкого подслоя, сохраняющегося вблизи стенки.

∆	τw
При 0 ≤	ρ	< 5, где ν − кинематический коэффициент вязкости
	ν

потока, элементы шероховатости расположены целиком внутри вязкого подслоя, а сама шероховатость не оказывает влияния на закон сопротивления. При этом реализуется гладкостенный турбулентный режим, для которого Блазиусом в 1913 г. был предложен закон сопротивления

	0,3164
ζ =	Re0,25 .	(4.6)

Рис. 4.2. Законы сопротивления потока в трубе: 1- ламинарный режим; 2 – гладкостенный турбулентный режим; 3…8 – доквадратичный турбулентный режим с возрастанием величины относительной шероховатости

		69
∆	τw
При 5 ≤	ρ	≤ 70 размер шероховатости соизмерим с толщиной вязкого
	ν

подслоя. Исследования показали, что в этом случае ζ от и от Re и от шероховатости ∆, при этом реализуется так называемый доквадратичный режим.

∆	τw
При	ρ	> 70 размер шероховатости превышает толщину вязкого
	ν

подслоя. При этом реализуется квадратичный режим. Коэффициент ξ практически не зависит от числа Re и определяется относительной

шероховатостью ∆d . Шифринсон для квадратичного режима предложил закон сопротивления в виде

		∆	0,25
ζ	= 0,11		.	(4.7)
	d

Само понятие о квадратичном режиме основано на условии пропорциональности потери давления по длине трубы квадрату скорости потока.

Для расчета коэффициента гидравлического сопротивления всех возможных турбулентных режимов Альтшулем был предложен закон сопротивления в виде

ζ	68	+	∆		0,25
ζ	= 0,11	+		э	,	(4.8)
	Re		d			(4.8)
	Re		d

где ∆э − «эквивалентная» шероховатость, под которой понимается такая песочная шероховатость, при которой в квадратичной области (где потери давления по длине трубы пропорциональны квадрату скорости потока) обеспечивается одинаковое с естественной шероховатостью значение коэффициента ζ.

4.2.Местные гидравлические сопротивления

Кместным сопротивлениям относятся всякие резкие изменения формы граничных поверхностей потока (расширения, сужения, изгибы, изломы и др.). При этом потери давления составляют

ρw2
∆p м=ζ м 2 .	(4.9)

где ζм − коэффициент местного сопротивления.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
12.06.20148.12 Mб700Гидравлика. Кордон М.Я. , Симакин В.И. и др. 2005 г.doc
#
12.06.201413.5 Mб180Гидравлика. Чугаев Р.Р. 1982 г..djvu
#
12.06.20141.62 Mб265Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г.pdf