Добавил:

Krevedko Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

Гидравлика и гидропривод

Файл:

Книги / Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г

.pdf

Скачиваний:

265

Добавлен:

12.06.2014

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Результирующее количество теплоты, подведенное через грани, перпендикулярные оси x:

Q	= Q	(x)− Q	(x + dx)= −	∂qx	dxdydzdτ .

τx	τx	τx		∂x		(3.90)

Аналогично определяется результирующее количество теплоты, подведенное через остальные грани, перпендикулярные осям y и z.

Результирующее количество теплоты, подведенное к выделенному объему будет иметь вид

∂q

∂qy

∂q

Qτ

= −

∂x

∂y

∂z

dxdydzdτ .

С учетом закона Фурье:

q = −λ gradT ,

∂T r

∂T

где λ − коэффициент теплопроводности; gradT =

∂x

∂y

(3.91)

(3.92)

r		∂T	r
j	+		k	−
j	+	∂x	k	−
		∂x

температурный градиент. Подробно закон Фурье будет рассмотрен в третьей части пособия, посвященной теории тепломассообмена.

Уравнение (3.91) можно представить в виде

∂

∂T

∂

∂T

∂

∂T

dxdydzdτ .

= −

∂x

∂y

∂z ∂z

При наличии внутренних источников теплоты

QV τ = qV dxdydτ ,

(3.93)

(3.94)

где qV – мощность внутренних источников теплоты.

Таким образом, дифференциальное уравнение энергии будет иметь вид

D u +

∂

(σx wx +τxy wy +τxz wz )+

= Xwx +Ywy + Zwz +

dτ

∂x

∂

(τxy wx

+σ y wy +τ yz wz )+

(τxz wx +τ yz wy +σz wz )+

(3.95)

∂y

∂x

∂

∂T

∂

∂T

∂

∂T

+ q

∂z

∂x ∂x ∂y

∂y

Используя закон трения Стокса, а также пренебрегая изменением во времени кинетической энергии и действием массовых сил можно получить

∂

∂T

∂

∂T

∂

∂T

= −pdivW +

+ q

+Ф.

dτ

∂x

∂z

(3.96)

∂y

В уравнении (3.96) Ф – диссипативная функция, которая при µ = const определяется выражением вида

∂w

∂wy 2

∂w

∂wy

∂w

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

Ф = µ

∂wy 2

(3.97)

∂w

∂wy

∂w

−

x +

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

Дифференциал внутренней энергии определяется как

du = d(cT ),

(3.98)

где c – удельная теплоемкость жидкости.

Для несжимаемой среды divW = 0 , дифференциальное уравнение энергии будет иметь вид

D(cT )

∂

∂T

∂

∂T

∂

∂T

+ q

+Ф.

dτ

∂x

∂z

(3.99)

∂y

Значение функции Ф обычно невелико и в большинстве случаев ей пренебрегают.

Для среды с постоянными теплофизическими свойствами дифференциальное уравнение энергии можно представить в виде

	DT		∂2T ∂2T ∂2T
ρc				2 +		2 +		2	+ qV .	(3.100)
	dτ	= λ	∂x		∂y		∂z

Обозначив за a =

− коэффициент температуропроводности, получим

cρ

dτ

= a

T +

(3.101)

ρc

T =

∂2T

где

∂x2

∂y2

∂z2 .

Следует отметить, что при условии рассмотрения закона сохранения и превращения энергии какого-либо газа, в уравнениях (3.99) – (3.101) используется удельная изобарная теплоемкость cp.

При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное уравнение энергии упрощается за счет того, что qV = 0 .

3.3. Движение вязкого потока

3.3.1. Режимы течения жидкости

Известны два основных режима течения вязкой жидкости: ламинарный и турбулентный. Первое систематическое исследование этих режимов течения выполнил английский физик Рейнольдс (1883 г.).

Исследованиями Рейнольдса было установлено, что при относительно небольших скоростях движения потока каждая частица жидкости движется по своей траектории, не перемешиваясь с другими частицами. Такое течение было названо слоистым или ламинарным.

При достаточно больших скоростях движения потока на основное движение частиц накладываются хаотические поперечные перемещения (пульсации), приводящие к перемешиванию жидкости. Такое течение было названо турбулентным.

Исследования также показали, что при возрастании скорости ламинарного потока приводит к возникновению случайных возмущений, которые сначала гасятся или вызывают небольшие колебания струек, но в конечном счете равновесие нарушается и ламинарное течение переходит в турбулентное.

На рис. 3.7. представлены профили скорости при движение жидкости в трубе. При ламинарном режиме каждый слой жидкости движется со своей определенной скоростью, которая достигает максимума в среднем сечении трубы. При турбулентном режиме частицы жидкости движутся с некоторой одинаковой средней скоростью и лишь в пристеночной области скорость жидкости уменьшается.

Рейнольдсом впервые было установлено, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении безразмерным

комплексом Re = wdν , названным впоследствии числом Рейнольдса некоторого

предельного значения Reкр. Число Рейнольдса включает в себя среднюю скорость движения жидкости w, характерный размер (в данном случае диаметр трубы d), коэффициент кинематической вязкости жидкости ν. Значение Reкр называется критическим числом Рейнольдса. Опытами установлено, что при течении жидкости по трубе Reкр ≈ 2000 .

Таким образом, при Re < Reкр в трубе реализуется ламинарный режим течения, при Re > Reкр − турбулентный режим течения.

Дальнейшие исследования показали, что значение критического числа Рейнольдса зависят от условий на входе в трубу. Тщательным устранением возмущений потока на входе удалось сохранить ламинарное течение вплоть до

Re = 40000 .

а б

Рис. 3.7. Профиль скорости в трубе: при ламинарном течении жидкости, а; при турбулентном течении жидкости, б

Опытами установлено также, что при Re < 2000 даже самые сильные возмущения потока на входе со временем затухают, и течение остается ламинарным.

Полностью развитое турбулентное течение в трубе имеет место при

Re >104 . В диапазоне Re = 2000...10000 режим течения в трубах является переходным. Переходный режим течения носит неустойчивый характер. Это означает, что в анализируемой точке пространства ламинарный и турбулентный режимы течения чередуются с некоторым периодом времени τn.

Для характеристики переходного режима используется коэффициент перемежаемости

γ =	τт		,	(3.102)
	τ	n		(3.102)
		n

где τт – продолжительность существования турбулентного режима в течении периода τn. Коэффициент перемежаемости изменяется в диапазоне γ = 0...1, при γ = 0 имеет место ламинарный режим течения, а при γ =1 − турбулентный.

Аналогичные результаты получены при внешнем обтекании тел. Драйден установил, что при обтекании потоком плоской пластины критическое число

Рейнольдса находится в пределах Reкр= (0,35...1,00) 106 .

3.3.2. Особенности турбулентного течения

Параметры турбулентного потока изменяются во времени неравномерно, поэтому для удобства исследования его параметры представляют как сумму осредненных во времени параметров и их пульсационных составляющих (рис. 3.8). Связь актуальных (действительных) величин параметров с осредненными и пульсационными составляющими выражается формулами

′

(3.103)

; T

w ; p

где w, p, T – актуальные значения скорости, давления и температуры соответственно; w , p , T − осредненные значения скорости, давления,

температуры соответственно; w′, p′, T ′ − пульсационные составляющие скорости, давления, температуры соответственно.

Рис. 3.8. Изменение во времени параметров турбулентного потока

Осредненное значение параметров определяется изменением актуальных параметров во времени

	1	τ+∆τ	1	τ+∆τ		1	τ+∆τ
w =		∫wdτ ; p =		∫ pdτ ; T	=		∫Tdτ .	(3.104)
	∆τ		∆τ			∆τ
		τ		τ			τ

Из понятия осредненных параметров следует, что осредненные значения

пульсационных составляющих параметров равны нулю ( w′, T ′ и т. д.), но среднее значение произведений пульсаций может быть не равно нулю. В этом случае между пульсациями существуют корреляции (зависимости), которые имеют важное значение для анализа характеристик потока. Так, произведение

w′x w′y определяет турбулентные касательные напряжения, w′yT ′ − плотность

теплового потока, обусловленную турбулентным переносом теплоты.

Также следует отметить, что повторное осреднение не изменяет результата ( w = w , T =T и т. д.). Осредненные произведения средней величины и пульсационной также равны нулю ( ww′ = 0 , pp′ = 0 и т. д.).

Для количественной оценки пульсационных составляющих скорости движения используется параметр, называемый степенью турбулентности Tu.

В общем случае неизотропной турбулентности

(w′x2

)

Tu =

w′y2

w′z2

(3.105)

′2

′

− дисперсии пульсационных составляющих скорости, w −

где wx

, wy ,

осредненная скорость потока.

′2

′

′2

Для изотропной турбулентности wx

= wy

= wz

= w

Tu =

′2

(3.106)

w .

аэродинамических

трубах

Tu ≈ 0,0002...0,01.

каналах

значение Tu

составляет несколько сотых долей.

Неоднородность скоростного

поля

может

быть

обусловлена

диссипативными потерями при взаимодействии потока со стенкой. В этом случае турбулентность называют пристенной.

Поток может быть турбулентным и до начала взаимодействия его с рассматриваемой поверхностью. Такую турбулентность называют внешней.

3.3.3.Уравнения движения и энергии для ламинарного и турбулентного режима течения жидкости

При ламинарном режиме течения уравнения движения и энергии можно записать в форме (3.76), (3.99).

Эти уравнения будут верны и для турбулентного режима течения, при условии, что в уравнениях присутствуют мгновенные значения величин

(скорости, температуры, давления). При этом система дифференциальных уравнений (3.76) и (3.99) с учетом уравнения неразрывности является замкнутой, так как число неизвестных равно числу уравнений. Однако, математическая формулировка задачи остается незамкнутой из-за неопределенности начальных и граничных условий однозначности. Эта неопределенность и составляет физическую суть проблемы замыкания. Решение этой проблемы средствами математики сводится к появлению большого числа расчетов с разными вариантами задания начальных и граничных условий. При этом каждый такой вариант представляет собой совокупность случайных значений параметров, лежащих внутри заданного диапазона их изменения в турбулентном потоке. Этот подход требует выполнения чрезвычайного большого объема вычислительной работы.

Другой подход к проблеме замыкания математической формулировки задачи сводится к замене в дифференциальных уравнениях движения (в форме Навье-Стокса) и энергии, мгновенных значений параметров на сумму осредненных и пульсационных составляющих.

Рассмотрим турбулентное течение несжимаемой жидкости в прямоугольной системе координат. Найдем составляющие потока импульса dIxx, dIxy, dIxz через элементарную площадку dFx, перпендикулярную оси x, за единицу времени

dIxx = ρwx wx dFx ; dI xy = ρwx wy dFx ; dIxz = ρwx wz dFx .

(3.107)

Осредненные во времени значения потока импульса будут иметь вид

= ρ(wx + w′x )(wx

+ w′x )dFx = ρ(wx2

+ 2

)dFx =

w′x2

dI xx

wx w′

;

= ρ(wx2 +

)dFx

w′x2

+ w′y )dFx = ρ(

)dFx =

= ρ

(wx + w′x )(wy

(3.108)

dI xy

wx wy

wx w′y + wy w′

w′x w′y

= ρ(

)dFx

;

wx wy

w′x w′y

= ρ

(wx + w′x )(wz

+ w′z )dFx = ρ(

)dFx =

dI xz

wx wz

wx w′z

+ wz w′

w′x w′z

= ρ(

)dFx

wx wz

w′x w′z

Разделив каждую составляющую потока импульса на площадь dFx получим напряжения (одно нормальное и два касательных к выбранной площадке, перпендикулярной оси x):

σx = −ρ(wx2 + w′x2 );

τxy = −ρ(		+		);
	wx wy		w′x w′y		(3.109)

τxz = −ρ(wx wz + w′x w′z ).

Проводя аналогичные рассуждения для площадок dFy и dFz, перпендикулярных осям y и z соответственно, получим еще 6 составляющих напряжения.

Для площадки dFy:

τ yx =τxy = −ρ(wx wy + w′x w′y );

σy = −ρ(wy2 + w′y2 );

τyz = −ρ(wy wz + w′y w′z ).

Для площадки dFz:

τzx =τxz = −ρ(wx wz + w′x w′z ); τzy =τ yz = −ρ(wy wz + w′y w′z );

σz = −ρ(wz2 + w′z2 ).

(3.110)

(3.111)

Таким образом, наложение пульсационного движения на осредненное приводит к появлению девяти дополнительных напряжений:

′2

σ′x

τ′xy

τ′xz

′ ′

′

wx wy

wx wz

′

′2

= −ρ

′ ′

′

(3.112)

τ yx

σ y

τ yz

wx wy

wy wz

τ′zx

τ′zy

σ′z

w′z2

w′x w′z

w′y w′z

Совокупность этих девяти дополнительных напряжений, возникающих в турбулентном потоке, называют тензором «кажущихся» напряжений или

напряжениями Рейнольдса.

Таким образом, уравнение движения для турбулентного потока примут вид

Dwx

= X −

∂p

∂x

dτ

;

∂

∂wx

∂

∂wx

∂

∂wx

′2

′ ′

− ρw

∂x

∂y

∂z ∂z

∂y

Dwy

=Y −

∂p

dτ

∂y

;

∂

∂w

∂

∂w

∂

∂w

(3.113)

′ ′

′

′ ′

∂x

− ρwx wy

∂y

− ρwy

∂z

− ρwy wz

∂x

∂y

∂z

Dwz

= Z −

∂p

∂z

dτ

∂

∂wz

∂

∂wz

∂

∂wz

′2

′ ′

− ρw

∂x

∂y

∂z ∂z

Уравнения (3.113) уравнениями Рейнольдса.

Воспользовавшись идеей Ж. Буссинеска, выразим компоненты тензора напряжений соотношениями:

Txx

∂wx

Txy

∂wx

Txz

∂wx

σ′x

τ′xy

τ′xz

∂x

∂y

∂z

(3.114)

∂wy

τ′yx

σ′y

τ′yz

= ρ

µTxy

µTyy

µTyz

∂x

∂y

∂z

τ′zx

τ′zy

σ′z

∂wz

Txz

∂x

Tyz

∂y

Tzz

∂z

где µTij – коэффициенты турбулентного переноса количества движения.


						′2
						wx
						∂wx
µTxx		µTxy	µTxz			∂x
						∂x
					w′x w′y

µ		µ	µ	= −ρ
µ		µ	µ	= −ρ		∂wy
	Txy	Tyy	Tyz			∂wy
	Txy	Tyy	Tyz
µTxz		µTyz	µTzz
µTxz		µTyz	µTzz			∂x
						∂x

					w′x w′z
						∂wz
						∂x

w′x w′y

∂wx ∂y

w′y2

∂wy

∂y

w′y w′z

∂wz ∂y

w′x w′z

∂wx ∂z

w′y w′z . (3.115)

∂wy

∂z

w′z2

∂wz ∂z

В отличие от динамического коэффициента вязкости µ коэффициент турбулентного переноса µTij не является физическим свойством потока.

Таким образом, уравнения Рейнольдса можно представить в виде

Dwx

= X −

∂p

+ (µ + µTxx )∂wx + (µ + µTxy )∂wx + (µ + µTxz )∂wx

;

∂x

dτ

∂x

∂y

∂z

Dwy

=Y −

∂p

+ (µ + µTxy )

∂wy

+ (µ + µTyy )

∂wy

+ (µ + µTyz )

∂wy

;

(3.116)

∂y

∂x

∂y

∂z

dτ

Dwz

= Z −

∂p

+ (µ + µTxz )∂wz + (µ + µTyz )∂wz + (µ + µTzz )∂wz

∂z

dτ

∂x

∂y

∂z

Аналогично уравнению движения выводится дифференциальное уравнение энергии для осредненных параметров, при этом оно имеет вид

ρc

∂

(λ + λ

)

∂T

dτ

∂x

∂

(λ + λ

)

∂T

∂

(λ + λ

)

∂T

(3.117)

∂y

∂z

где λTi – коэффициенты турбулентного переноса энергии, которые также не являются физическими свойствами потока.

Коэффициенты турбулентного переноса энергии определяются

выражениями:

ρcp

= −

w′xT ′

; λ

= −

w′yT ′

; λ

= −

′zT ′

(3.118)

∂T

∂x

∂y

∂z

Следует отметить, что дифференциальное уравнение неразрывности для осреденных параметров имеет тот же вид, что и для мгновенных значений скоростей потока.

Коэффициенты турбулентного переноса являются величинами неизвестными, поэтому система уравнений для осредненных параметров турбулентного течения является незамкнутой, так как число уравнений больше числа неизвестных. При этом, для замыкания математической формулировки задачи, было разработано большое число эмпирических и полуэмпирических моделей турбулентности.

3.3.4. Модели турбулентности

Незамкнутость математической формулировки задачи турбулентного обмена из-за наличия пульсационных составляющих параметров потока делает невозможным использование чисто аналитического пути решения задачи. Существующие модели турбулентности не позволяют рассчитывать профиль осредненных скоростей и температур или уровень турбулентности в потоке без привлечения опытных данных.

В 1925 г. Л. Прандтль предложил теорию пути смешения, на основе которой характеристики турбулентного переноса удалось связь с распределением осредненной скорости потока.

Рассмотрим плоское движение жидкости, осредненная скорость которой wx изменяется только по координате y (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Длина пути смешения

В соответствии с гипотезой Прандтля, комок жидкости, перемещающийся под действием пульсации вдоль оси y сохранит свою индивидуальность (не перемешивается с остальной жидкостью) на расстоянии l, после чего рассеивается. Величина l называется длиной пути смешения.

Выделим два слоя жидкости с координатами y1 и y2, отстоящие друг от друга на расстоянии ∆y = l . Предположим, что в слое 1, имеющим скорость

движения wx1 , возник комок жидкости и, сохраняя x-составляющую своего

импульса, в результате пульсации скорости переместился в слой жидкости 2, где жидкость имеет скорость wx2 . В слое 2 разность между скоростью потока

wx2 и wx1 можно рассматривать как пульсацию скорости w′x .

∆wx = wx2 − wx1 = w′x .

(3.119)

Величину wx2 найдем разложением ее в ряд Тейлора с сохранением двух

членов ряда в предположении о малости величины ∆y = l :
wx2	= wx1	+	dwx	∆y = wx1			+	dwx	l .	(3.120)
wx2	= wx1	+		∆y = wx1			+		l .
			dy					dy
Таким образом,					dwx
		w′x = l			dwx	.				(3.121)
		w′x = l				.
					dy

В слой, соответствующий y2, из нижележащих слоев попадают комки жидкости со скоростью, меньше чем wx2 , а из вышележащих слоев – со

скоростью, превышающей wx2 . Их столкновение приводит к возникновению поперечной пульсации скорости w′y , которая пропорциональна w′x .

− w	′	w	′	= l	2	dwx			2
	x		y					.		(3.122)

							dy
										и w′y . Величина l в
Знак минус отражает противоположность знаков w′x

(3.122) изменяется во времени. Если под l понимать осредненную во времени величину, то равенство (3.122) будет иметь вид

dwx

− w

′

= l

(3.123)

Таким образом,

τ′

ρl 2

;

(3.124)

dwx

µTxy

= ρl 2

(3.125)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
12.06.20148.12 Mб700Гидравлика. Кордон М.Я. , Симакин В.И. и др. 2005 г.doc
#
12.06.201413.5 Mб180Гидравлика. Чугаев Р.Р. 1982 г..djvu
#
12.06.20141.62 Mб265Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г.pdf