Книги / Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г

30

Отношение силы к площади поверхности, на которую она действует,

называется напряжением.

Напряжение называется нормальным σ, если оно направлено по нормали к анализируемой поверхности.

Напряжение называется касательным τ, если оно направлено по касательной к анализируемой поверхности.

Нормальное напряжение вдоль оси x (действующее на площадку, перпендикулярную оси x) обозначают σx. Аналогично σy, σz.

Касательные напряжения записываются с двумя индексами, например, τxy, первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна выделенная площадка, а второй – в направлении какой координатной оси действует рассматриваемое касательное напряжение.

Таким образом, в направлении каждой координатной оси действуют нормальная и две касательных составляющих напряжения. Так в направлении осей x, y, z действуют следующие составляющие напряжения соответственно:

где p – давление, действующее на выделенный элемент противоположно по знаку напряжениям σ, поскольку давление создает напряжение сжатия, а

Таким образом, в вязкой покоящейся или невязкой (покоящейся или движущейся) жидкости силы трения не возникают, напряжения определяются

31

гидростатическим давлением. Для этих случаев тензор напряжений принимает вид

где ∆px, ∆py, ∆pz – дополнительные давления в направлении координатных осей x, y, z, обусловленное влиянием вязкости.

Таким образом, закон трения Ньютона (1.4) для плоского потока можно обобщить на пространственное течение.

Для ньютоновской жидкости, у которой связь между напряжением и скоростью деформации линейна, такой обобщенный закон трения можно представить в виде

упрощаются.

3.2.2. Дифференциальное уравнение неразрывности

Выделим в движущемся потоке элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6) и определим изменение массы dm жидкости в выделенном объеме за элементарный промежуток времени dτ. Это изменение массы определяется разностью между втекающей и вытекающей массой жидкости через грани элементарного объема. Поскольку объем выделенного элемента V = dxdydz остается неизменным с течением времени, то

изменение массы жидкости dm может быть обусловлено лишь изменением ее

32

Рис. 3.6. Выделение элементарного объема в движущемся потоке

Определим массу жидкости, втекающую в выделенный объем за единицу времени.

Жидкость втекает через грани ABFE, AEHD и EFGH в следующих количествах: через грань ABFE − ρwx dydz ; через грань AEHD − ρwy dxdz ; через

33

Для стационарных потоков газа (сжимаемой жидкости) уравнение

Необходимо отметить, что существуют и другие способы вывода уравнения неразрывности.

3.2.3.Дифференциальные уравнения переноса количества движения. Уравнения Эйлера и Навье-Стокса

Рассмотрим движение сплошной среды, предполагая скорость, плотность, напряжения и массовые силы непрерывными функциями времени и координат. В декартовой системе координат выделим элемент в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6). К выделенному объему применяется закон сохранения количества движения, в соответствии с которым, изменение за определенный промежуток времени количества движения жидкости в элементарном объеме, равно импульсу внешних сил, действующих на этот объем.

Изменение количества движения в выделенном объеме происходит за счет изменения плотности жидкости и ее скорости, так и за счет разницы между втекающим и вытекающим количеством движения через границы этого объема.

Уравнение движения удобно рассматривать в проекциях на координатные оси x, y, z. Для получения проекций уравнения движения на каждую координатную ось применим закон сохранения количества движения к граням выделенного объема, перпендикулярным соответствующей оси.

Рассмотрим сначала грань ABFE, перпендикулярную оси x, и определим

I xz (x)= ρwx wz dydzdτ = ixz dydzdτ .

где ixx , ixy , ixz − составляющие потока импульса через грань, имеющую

площадь, равную 1 и перпендикулярную оси x, за единицу времени в направлении координатных осей x, y, z соответственно.

35

Изменение за время dτ количеств движения в выделенном объеме ∆I x , ∆I y , ∆I z в направлении осей x, y, z, происходящее за счет изменения плотности жидкости и ее скорости, выразим соотношениями вида

∆I x = ∂(∂ρτwx )dxdydzdτ ;

На выделенный объем, в общем случае, действуют внешние массовые (гравитационные или инерционные) и поверхностные силы. Найдем проекции импульса массовых сил на оси x, y, z за время dτ .

Для внешней массовой силы R = i X + jY + kZ , отнесенной к единице объема, имеем

Вуравнении (3.65) prx − вектор результирующего напряжения,

действующего на площадку, перпендикулярную оси x.

Вектор импульса результирующей поверхностной силы,rдействующей на перпендикулярные оси x грани выделенного объема, I Px определяется

Заметим, что направление результирующей поверхностной силы, действующей на перпендикулярные оси x грани, так же, как и направление ее импульса, не совпадает с осью x.

Аналогично получаются выражения для импульсов результирующей поверхностной силы, действующей на грани, перпендикулярные осям y и z:

37

Аналогично преобразовываются и два других уравнения.

В соответствии с уравнением неразрывности (3.52) последняя сумма в выражении (3.73), стоящая в квадратных скобках, равна нулю. Обозначим

где Dwdτx − субстанциальная производная.

Таким образом, получаем уравнения движения в форме уравнений Навье-

Стокса: