Книги / Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г

10

где µ0 – динамический коэффициент вязкости при некоторой температуре T0; TS − постоянная Сатерленда. К примеру, для воздуха TS =122К .

Кроме динамического коэффициента вязкости при анализе потоков жидкости и газа используется кинематический коэффициент вязкости:

ν = µ .

ρ (1.5)

Кинематический коэффициент вязкости также зависит от температуры (рис. 1.2) и более существенно зависит от давления, в отличие от µ.

Теплопроводность Теплопроводность представляет собой физическую величину,

определяющую способность тел проводить тепло. Теплопроводность зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других факторов.

Теплопроводность жидкостей меняется в диапазоне от 0,06 мВтК до 0,7

Вт

м К

жидкостей, за исключением воды и глицерина, уменьшается.

11

Теплопроводность газов примерно меняется в диапазоне от 0,006 мВтК до

перемещения молекул, м/c; l – средняя длина свободного пробега молекул, м; cv – удельная (массовая) изохорная теплоемкость газа кгДжК ; ρ – плотность.

С увеличением температуры средняя скорость перемещения молекул газа увеличивается и согласно формуле (1.6) увеличивается его теплопроводность.

12

Более точные результаты зависимости теплопроводности от температуры дает интерполяционная формула

где λ0 – теплопроводность при T = 273К .

Теплопроводность водяного пара и других реальных газов, существенно отличающихся от идеальных, сильно зависит также и от давления.

1.2.Модели жидкости

Сцелью упрощения решения многих задач вместо реальной жидкости рассматривают ту или иную модель жидкости, которая обладает лишь некоторыми свойствами реальных жидкостей. Эти свойства являются определяющими в решаемой задаче, поэтому подобные упрощения не дают существенных погрешностей определения искомых величин.

Рассмотрим основные существующие модели жидкости. Идеальная жидкость – это жидкость, лишенная вязкости.

Несжимаемая жидкость – это жидкость, не изменяющая плотности при изменении давления.

Совершенная жидкость – это несжимаемая жидкость, в которой силы сцепления между молекулами отсутствуют, а собственный объем молекул равен нулю.

Совершенный газ – это сжимаемая жидкость (газ), в которой силы сцепления между молекулами отсутствуют, а собственный объем молекул равен нулю.

Идеальный газ – совершенный газ, лишенный вязкости.

Бароклинная жидкость – это газ, плотность которого является функцией давления и температуры.

Баротропная жидкость – это газ, у которого плотность зависит только от давления.

13

2. ГИДРОСТАТИКА

2.1. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

В покоящейся жидкости выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.1). На выделенный объем, в общем случае, действуют внешние массовые (гравитационные или инерционные) и поверхностные силы.

Проанализируем поверхностные силы. На грань ABFE, перпендикулярную оси x, действует внешняя поверхностная сила Px (x), а на противоположную грань DCGH (и в противоположном направлении) – сила Px (x + dx).

В уравнении (2.1) px − вектор результирующего давления, действующего

на площадку, перпендикулярную оси x.

Таким образом, результирующая поверхностная сила, действующая на перпендикулярные оси x грани выделенного объема, равна:

Аналогично для граней, перпендикулярных осям y и z можно записать, что

Также на выделенный объемr жидкости будет действовать некоторая массовая сила Rr = irRx + rjRy + kRz .

Чтобы жидкость находилась в покое необходимо, чтобы все действующие на выделенный объем жидкости силы компенсировали друг друга:

Rx = ∂∂pxx dxdydz ;

14

Выражения (2.8) представляют собой математическую запись закона Паскаля, который гласит, что при отсутствии массовых сил давление жидкости или газа остается постоянным во всех точках анализируемой области.

2.2. Гидростатический закон. Гидростатическое давление

Рассмотрим случай массовой силы представляющей собой силу тяжести и направим ось x по нормали к поверхности Земли, противоположно этой силе, тогда

где g – ускорение свободного падения; ρ – плотность жидкости. Знак минус свидетельствует о противоположном направлении оси x и вектора силы тяжести.

Тогда уравнение равновесия будет иметь вид

где p0 – давление жидкости в сечении x = x0.

15

Если за исходное сечение принять поверхность уровня жидкости (x0 = 0), а

В уравнение (2.12) давление, пропорциональное плотности жидкости и высоте столба жидкости ( p = ρgh ), представляет собой гидростатическое

давление.

Гидростатическим давлением называют давление, которое оказывает жидкость на некоторую опору или поверхность, выделенную в толще жидкости.

Выделяют следующие свойства гидростатического давления:

1.Гидростатическое давление направлено всегда по внутренней нормали

кплощадке, на которую давление действует;

2.Гидростатическое давление в любой точке жидкости (на одной высоте) по всем направлениям одинаково.

Следует отметить, что выражение (2.12) имеет место не только в поле силы тяжести, но и любой другой внешней массовой силы, имеющей потенциал U. Таким образом, все рассмотренные выражения преобразуются в выражения вида

Уравнение (2.16) называют основным уравнением равновесия сплошной среды.

2.3. Условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах

Сообщающимися сосудами называют сосуды, соединенные друг с другом таким образом, чтобы жидкость свободно перетекала из одного сосуда в другой.

Закон сообщающихся сосудов гласит: в открытых сообщающихся сосудах при равновесии жидкости давление на любом горизонтальной уровне одинаково.

Если в открытые сообщающиеся сосуды налита одинаковая жидкость, то независимо от формы сосудов жидкость в обоих сосудах жидкость будет находится на одном уровне (рис. 2.2).

16

несмешивающимися жидкостями, имеющими плотности ρ1 и ρ2, например, ртутью и водой (рис. 2.3), то жидкость также распределится таким образом, чтобы давления этих жидкостей на любом горизонтальной уровне в обоих сосудах было одинаково. Выберем горизонтальный уровень жидкости AB, ниже которого жидкость однородна (рис. 2.3). Тогда p1 = p2 .

p1 = pатм + ρ1gh1;

Уравнение (2.18) представляет собой условие равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах.

На законе сообщающихся сосудов основано действие шлюзов, фонтанов и других устройств.

2.4. Простейшие гидравлические машины

Передача давления и энергии при помощи жидкости часто находит применение в практике машиностроения. Встречаются следующие так называемые простейшие гидравлические машины: гидравлические прессы, домкраты, подъемники и др. во всех этих машинах, имеющих разное назначение и различную конструкцию, используется один и тот же гидравлический принцип.

На рис. 2.4. показана схема гидравлического пресса.

Если к поршню, имеющему площадь F1, приложить некоторую силу, то эта сила будет передаваться на жидкость, и с такой же силой жидкость будет действовать на поршень, площадью F2.

Таким образом, из равенства сил давления следует, что

17

Следовательно, сжатие тела будет происходить под действием некоторого давления p2, которое непосредственно будет зависеть от отношения площадей двух поршней.

2.5. Основные методы и приборы измерения давления

Одним из первых измерил атмосферное давление итальянский ученый Торричелли. Метод его измерения состоял в следующем. Стеклянная трубка наполнялась жидкостью (чаще всего ртутью), затем трубка закрывалась и переворачивалась в открытую чашу с той же жидкостью (рис. 2.5). Под действием силы тяжести часть жидкости выливалась, а когда давление жидкости в трубке на уровне открытой поверхности жидкости в чаше становилось равным атмосферному давлению, жидкость переставала выливаться. Таким образом, устанавливалась определенная высота столба жидкости, по которой можно было судить о величине атмосферного давления

где pатм – атмосферное давление; ρ – плотность жидкости; h – высота столба жидкости (пьезометрическая высота).

18

Подобные приборы получили название жидкостных барометров, они предназначены для измерения атмосферного (барометрического) давления.

Также для измерения атмосферного давления применяют металлический барометр – анероид. Основной частью анероида является металлическая коробочка с гофрированной поверхностью. Из коробочки частично откачен воздух, вследствие чего она реагирует на малейшее изменение атмосферного давления. Прибор градуируется и по величине прогиба поверхности коробочки судят о величине атмосферного давления.

Измерение давления, которое больше атмосферного, можно производить следующим образом. Если требуется измерить давление газа в некотором закрытом баллоне (рис. 2.6), то к баллону присоединяют U-образную стеклянную трубку c некоторой жидкостью (в основном, с ртутью). Так как p > pатм , то по закону сообщающихся сосудов, чтобы жидкость находилась в

равновесии под действием силы давления атмосферы с одной стороны и под действием силы давления газа с другой, необходимо, чтобы часть жидкости из одной трубки перетекла в другую и давления на любом горизонтальном уровне жидкости выровнялись.

Прибор, измеряющий избыточное (относительно атмосферного) давление, называется манометром. В данном случае был рассмотрен принцип действия жидкостного манометра.

Абсолютное давление газа p в баллоне будет вычисляться по формуле:

где h – разность уровней жидкости в U-образном жидкостном манометре.

В настоящее время существует большое количество различных манометров. Большое распространение в последнее время получили манометры, работающие на пьезоэффекте, так называемые датчики давления. Принцип действия большинства датчиков давления основан на том, что чувствительная к изменению давления пьезоэлектрическая пластинка вырабатывает электричество. Электрический сигнал при этом фиксируется и по его величине судят о давлении.

Измерение давления, которое меньше атмосферного (вакуум), можно производить аналогичным образом. К закрытому баллону присоединяют U-образную стеклянную трубку c некоторой жидкостью (в основном, с ртутью). Так как p < pатм, то разность уровней жидкостей в U-образной трубке h будет

показывать недостаточное (относительно атмосферного) давление (рис. 2.7). Прибор, измеряющий недостаточное давление, называется вакуумметром.

В данном случае был рассмотрен принцип действия жидкостного вакууметра. Абсолютное давление газа p в баллоне будет вычисляться по формуле:

где h – разность уровней жидкости в U-образном жидкостном вакуумметре.

19

2.6. Закон Архимеда

Пусть тело цилиндрической формы погружено в жидкость плотностью ρ так, что его нижнее основание находится на уровне h2, а верхнее – на уровне h1 (рис. 2.8). Тогда на верхнее основание цилиндра действует со стороны

жидкости сила гидростатического давления P1 , направленная вертикально вниз,

где p1, p2 – гидростатические давления на уровнях h1 и h2 соответственно; F – площадь основания цилиндра.

называют силой Архимеда.

Закон Архимеда гласитr : на тело, погруженное в жидкость, действует

выталкивающая сила P , направленная вертикально вверх и численно равная весу вытесненной жидкости.

2.7.Равновесие и устойчивость тел, погруженных в жидкость. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости

Рассмотрим тело, которое погружено в жидкость. При этом на тело будут

действовать сила Архимеда Pr и внешняя массовая сила G .

Точка, к которой приложена сила Архимеда называется центром давления. Внешняя массовая сила приложена к центру масс рассматриваемого тела.