Добавил:

Krevedko Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

Гидравлика и гидропривод

Файл:

Книги / Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г

.pdf

Скачиваний:

265

Добавлен:

12.06.2014

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

120

Соотношение δλ

обратная величина δλ

q = λ Tw1 −Tw2 .	(13.6)
δ

называется тепловой проводимостью плоской стенки, а

– внутренним термическим сопротивлением.

Рассмотрим теперь теплопроводность плоской многослойной стенки, состоящей из n слоев (рис. 13.4).

На границе раздела соседних слоев возникает контактное термическое сопротивление, обусловленное неплотным соприкосновением поверхностей.

Термическое сопротивление контакта в отдельных случаях может быть пренебрежимо мало, но иногда общее тепловое сопротивление многослойной стенки благодаря сопротивлению в местах контакта увеличивается в несколько раз.

Плотность теплового потока через поверхность контакта можно выразить формулой вида

1		(T	′ −T ′′),
q =				(13.7)
	Rк
где Rк – контактное термическое			сопротивление; T ′	и T ′′ – температуры
контактирующих поверхностей.

Рассмотрим теплопроводность плоской многослойной стенки при условии идеального контакта между слоями. При стационарном режиме плотность теплового потока через все слои пластины одинакова.

Рис. 13.3. Теплопроводность через	Рис. 13.4. Теплопроводность через плоскую
плоскую однослойную стенку	многослойную стенку

121

Таким образом, можно составить следующую систему уравнений:

q= λ1 (Tw1 −Tw2 );

δ1

q= λ2 (Tw2 −Tw3 );

δ2

…………………;

q= λn (Twn −Twn+1 ).

δn

При этом
		δ	1		δ	2	δ
Tw1 −Twn+1			1	+	λ	2	+ ... + λ	n	;
Tw1 −Twn+1	= q	λ		+	λ		+ ... + λ		;
			1			2		n

q =

Tw1 −Twn+1

λ1

+ λ2 + ... +

λn

∑i=1

λi

i , равная сумме

термических сопротивлений

Величина ∑

i=1

λi

(13.8)

(13.9)

(13.10)

n слоев,

называется полным термическим сопротивлением теплопроводности

многослойной стенки.

В условиях неплотного контакта слоев плотность теплового потока будет выражаться формулой вида

q =	Tw1 −Twn+1				,	(13.11)
q =					,
	n	δ		n−1
	∑		i	+ ∑Rкi
	i=1	λi		i=1

где Rкi – контактное термическое сопротивление между слоями стенки. Рассмотрим теперь передачу теплоты от одного теплоносителя к другому

через разделяющую их твердую стенку (рис. 13.5). Для неограниченной плоской однослойной стенки согласно закону Фурье и формуле НьютонаРихмана для явления теплоотдачи можно записать:

q =α1 (Tf 1 −Tw1 );

q =	λ (T	−T	);	(13.12)
	δ w1	w2		(13.12)

q =α2 (Tw2 −Tf 2 ).

Если коэффициенты теплоотдачи α1, α2 известны, то

							q = k(Tf 1 −Tf 2 ),	(13.13)
где k =			1				– коэффициент теплопередачи.
где k =	1	+	δ	+		1	– коэффициент теплопередачи.
	α1	+	λ	+	α2
	α1		λ		α2

122

Рис. 13.5. Теплопроводность и теплопередача через плоскую стенку

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи

1
R = k .	(13.14)

При теплопередачи через плоскую многослойную стенку плотность теплового потока также будет выражаться формулой (13.13), где

k =

. В условиях неплотного

контакта

между слоями

1 + ∑δi

+ 1

α1 i=1 λi

α2

коэффициент теплопередачи будет равен k =

1 + ∑δi

+ ∑Rкi + 1

n−1

α1

i=1 λi

i=1

α2

13.3.Теплопроводность и теплопередача через цилиндрическую стенку

Для стационарной одномерной задачи о теплопроводности цилиндрической стенки без внутренних источников теплоты (рис. 13.6) дифференциальное уравнение энергии в цилиндрической системе координат будет иметь вид

	d 2T	1 dT
		+ r		= 0 .	(13.15)
	dr 2		dr
Решением этого уравнения будет выражение вида
	T = C1 lnr + C2 .				(13.16)

Определим константы интегрирования С1 и С2 в уравнении температурного поля (13.16).

123

Граничные условия первого рода для рассматриваемой задачи:

при r = r1

T =Tw1 ;

при r =r 2

T =Tw2 .

Подстановка этих условий в формулу (13.16) показывает, что

− (T

−T

)

ln r1

; C

Tw1 −Tw2

(13.17)

ln r

Если радиусы внутренних и внешних поверхностей цилиндрической стенки заменить на соответствующие диаметры, то уравнение температурного поля будет иметь вид

Tw1 −Tw2

T =Tw1

−

(13.18)

где d1 и d2 – внутренний и наружный диаметр цилиндра соответственно.

Температурный градиент

Tw1 −Tw2

= −

(13.19)

Тепловой поток, проходящее через цилиндрическую поверхность F равен:

Q = λ

Tw1 −Tw2

F .

(13.20)

где F = 2πrl = πdl .

Рис. 13.6. Теплопроводность через	Рис. 13.7. Теплопроводность через
цилиндрическую однослойную стенку	цилиндрическую многослойную стенку

124

Тепловой поток можно отнести к длине трубы l:

ql =	Q	=	π(Tw			−Tw2 )		,
ql =		=		1				,
				1
	l		1			d	2
							2

					2λ ln d
							1

а также к единице внутренней или внешней поверхности:

q1 =

2λ(Tw −Tw2 )

; q2 =

2λ(Tw −Tw2 )

πd l

d1 ln d

d2 ln d

(13.21)

(13.22)

Все рассмотренные удельные тепловые потоки связаны между собой следующим соотношением:

ql = πd1q1 = πd2 q2 .

(13.23)

По аналогии с выводом формулы для теплового потока плоской многослойной стенки, для многослойной цилиндрической стенки (рис. 13.7)


удельный тепловой поток будет иметь вид
ql =	π(Tw1 −Twn+1 ).					(13.23)
	n	1		di+1		(13.23)
	∑	1	ln	di+1
	∑	2λ	ln
	i=1	2λ		d	i
		i			i

Рассмотрим передачу теплоты от одного теплоносителя к другому через разделяющую цилиндрическую стенку.

Для однослойной стенки (рис. 13.8) можно записать формулы для явлений теплоотдачи двух поверхностей, соприкасающихся с теплоносителем и формулу для теплопроводности цилиндрической стенки:

ql =πd1α1 (Tf 1 −Tw1 );

π(Tw1 −Tw2 );

(13.24)

2λ

ql =πd2α2 (Tw2 −Tf 2 ).

Если коэффициенты теплоотдачи α1, α2 известны, то

=πkl (Tf 1 −Tf 2 ),

(13.25)

где kl

− коэффициент теплопередачи.

α1d1

α2 d2

2λ

При теплопередачи через плоскую многослойную стенку плотность

теплового

потока

также

будет

выражаться формулой

(13.25), где

i+1

∑

2λi

α2 d2

α1d1

i=1

125

Рис. 13.8. Теплопроводность и теплопередача через цилиндрическую стенку

Тепловые потоки при наличии контактного термического сопротивления вычисляются по аналогичным формулам, приведенным для плоской стенки.

13.4. Теплопроводность и теплопередача через шаровую стенку

Для стационарной одномерной задачи о теплопроводности шаровой стенки без внутренних источников теплоты (рис. 13.9) дифференциальное уравнение энергии будет иметь вид

d 2T	+	2 dT			= 0 ,	(13.26)
dr2		r		dr

Рис. 13.9. Теплопроводность через шаровую стенку

126

Граничные условия первого рода для рассматриваемой задачи:

при r = r1

T =Tw1 ;

при r =r 2

T =Tw2 .

Таким

образом, после

интегрирования

получаем

температурного поля в виде

Tw1

T =Tw1

−

−Tw2 1

−

где r1 и r2 – внутренний и наружный радиус стенки соответственно.

Температурный градиент

= −

Tw1 −Tw2

r 2

−

Тепловой поток, проходящий через поверхность F равен:

Q = λ

Tw1 −Tw2

F ,

r 2

−

где F = 4πr 2 = πd 2 .

Таким образом, формула (13.29), будет иметь вид
Q =	4πλ(Tw1 −Tw2 )				=	2πλ(Tw1 −Tw2 )						.
		1	−	1			1		−	1
			−	r					−	d
		r		r			d	1		d	2
	1			2				1			2

уравнение

(13.27)

(13.28)

(13.29)

(13.30)

Для случая многослойной стенки формула для теплового потока будет

иметь вид

π(Tw1 −Tw2 )

Q =

(13.31)

∑

−

2λ

i=1

i+1

Рассмотрим передачу теплоты от одного теплоносителя к другому через

разделяющую их однослойную шаровую стенку.

Для однослойной шаровой стенки можно записать:

Q =πd 2α

f 1

−T

);

Q =

2πλ(Tw1 −Tw2 )

;

−

(13.32)

Q =πd 2α

−T

f 2

Если коэффициенты теплоотдачи α1, α2 известны, то

Q =πkш (Tf 1 −Tf 2 ),

(13.33)

																127
где kш =											1							– коэффициент теплопередачи.
где kш =				1					1		1			1		1		– коэффициент теплопередачи.

							+					−			+
						2	+					−			+	2
						2										2
			α1d1							2λ d1				d2		α2 d2
Для				многослойной										шаровой стенки применима формула (13.33), где
kш =											1							.
kш =						n												.
		1				n			1		1		1				1
		1			+	∑			1		1	−	1		+		1
2					+							−			+	2
2																2
	α1d1					i=1		2λi di					di+1			α2 d2

128

14. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

14.1. Условия подобия нестационарных температурных полей

Основной задачей расчета теплопроводности при нестационарном режиме является определение зависимости температурного поля от времени, а также количества полученной (отданной) телом теплоты по истечении определенного времени.

Дифференциальное уравнение энергии в твердом теле без внутренних источников теплоты имеет вид

∂T		∂2T		∂2T ∂2T
			2 +		2 +		2		(14.1)
∂τ	= a	∂x		∂y		∂z		.

Характер взаимодействия тела с окружающей средой опишем граничными условиями третьего рода

α(T −T		)= −λ		∂T
					.	(14.2)

w	f		ст	∂x n=0

где λст – теплопроводность стенки; ∂∂Tn − температурный градиент в твердом

теле.

При равномерном температурном поле в начальный момент процесса теплообмена временные условия имеют вид:

при τ = 0 T =T / .

Обозначим избыточную температуры в любой точке тела в произвольный

момент времени через θ:
θ =T −Tf .	(14.3)

Для точек расположенных на поверхности и в центре стенки:

θw =Tw −Tf ; θ0 =T0 −Tf .

(14.4)

Для начального момента времени:

(14.5)

θ /

=T /

−Tf .

Безразмерная избыточная температура

θ~ =

(14.6)

θ /

, где l –

Обозначим безразмерные координаты:

;

характерный размер тела.

Приведем уравнение (14.1) к безразмерному виду.

2 ~

∂T

∂ T2

= θ2

∂~θ2 ;

∂ T2

= θ2

∂~θ2 ;

∂ T2 =

θ2

∂~θ2

;

=θ /

∂θ .

(14.7)

∂x

∂y

∂z

∂τ

129

∂θ	=	∂2θ~
		~ 2
aτ
∂		∂x

l 2

	∂2θ~	∂2θ~
+	~ 2 +	~ 2 .	(14.8)
	∂y	∂z

Следовательно, для сходственных точек, безразмерная температура θ~

зависит от числа Фурье Fo = al τ2 . Однако, связь безразмерной температуры и

числа Фурье неоднозначна, так как конкретная форма связи зависит от краевых условий.

Анализ уравнения (14.2), определяющего условия теплообмена на границах, методами теории подобия показывает, что подобие процессов теплообмена на границах тела определяется числом Био

Bi = αl .

λст

Таким образом, температурное поле при теплопроводности определяется обобщенным выражением:

~	~ ~ ~
θ =	f (Fo,Bi,x , y ,z ),

вид функции в котором зависит от формы тела.

(14.9)

нестационарной

(14.10)

14.2. Нестационарная теплопроводность плоской стенки

Рассмотрим плоскую стенку, размеры которой вдоль осей y и z настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. Будем считать условия теплообмена с обеих поверхностей одинаковыми (Tf = const и α = const), температуру – зависящей только от одной координаты x. Тогда температурное поле будет симметричным относительно середины стенки, поэтому ее толщину обозначим как 2δ (рис. 14.1).

Рис. 14.1. Температурное поле плоской стенки

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
12.06.20148.12 Mб700Гидравлика. Кордон М.Я. , Симакин В.И. и др. 2005 г.doc
#
12.06.201413.5 Mб180Гидравлика. Чугаев Р.Р. 1982 г..djvu
#
12.06.20141.62 Mб265Теоретические основы гидравлики. Ртищева А.С. 2007 г.pdf