2.2. Гидростатическое давление

Рассмотрим произвольный объем жидкости W(рис. 2.1), на­ходя­щейся в равновесии под действием внешних силPи ограни­чен­ной поверхностьюS.

Рис. 2.1

Проведем секущую плоскость а-а, делящую объемWна две час­ти 1 и 2. Отбросим часть 1 и заменим распределенными по площадисиламир_i, одна из которыхрприходится на долю площади.

Напряжение сжатия _с, возникающее при этом, определяется как частное от деления силырна площадь:

. (2.1)

Напряжение _спринято называть средним гидростатическим дав­лением; предел отношения при0 называется гидро­ста­ти­ческим давлением в точке:

. (2.2)

Размерность давления [р] = [] =.

Единица измерения давления Па. Это давление, вызываемое силой в 1Н, равномерно распределено по поверхности площадью в 1м²(1 Па = 1).

Так как эта единица очень мала, то на практике давление из­ме­ряют в килопаскалях (1 кПа = 10³ Па) или мегапаскалях (1 МПа = 10⁶ Па).

2.3. Основная теорема гидростатики

Гидростатическое давление в данной точке не зависит от на­прав­ления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям.

Докажем, что р_х=р_у=р_z=р_n, гдер_х,р_y,р_z,р_n– представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении ко­ор­динатных осейox,oy,ozи в некотором произвольном на­прав­ле­нииN-N(рис. 2.2).

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx,dy,dz, со­ответ­ст­-венно параллельными координатным осям, и с массой

dm = ,

где –

плотность жидкости.

Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов:

(2.3)

Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения мо­мен­тов такой системы удовлетворяются тождественно, а действую­щие на не­го силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

Таким образом, остается только три проекции сил:

(2.4)

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.

Таких сил будет четыре (по числу граней).

На грань АВСдействует сила

, (2.5)

где рх–

среднее гидростатическое давление для треугольника АВСс площадью.

Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сто­рону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».

Силы dP_y и dP_z, действующие на грани ABD и ACD, соот­вет­ст­вен­­но параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны ну­лю.

Четвертая сила dP_n – сила давления на граньВСDравна:

, (2.6)

где рn–	среднее гидростатическое давление для грани BCD;
d–	площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox:

. (2.7)

Эта сила направлена в отрицательную сторону осиox.

Произведение dcos(N,ox) представляет собой проекцию пло­ща­ди треугольникаBCDна плоскостьуozи равно:

. (2.8)

Тогда проекция силы dP_n на осьoxчисленно равна:

. (2.9)

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на осиoyиoz:

(2.10)

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к рав­нодействующей dR, образующей с координатными осями углы,,и равной:

, (2.11)

где dm–

масса тетраэдра, равная:

,

где –	плотность жидкости;
dxdydz–	объем тетраэдра;
j–	ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения).

Обозначим проекции ускорения jпо координатным осямx,y,z,т.е. примем, что

Тогда проекции объемной силы dR равны:

(2.12)

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12):

. (2.13)

Или после сокращения на dydz:

.

Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительноp_x и p_n, получаемp_x –p_n = 0 илиp_x =p_n.

Аналогично p_y =p_n иp_z =p_n.

Следовательно,

p_x = p_y = p_z = p_n.(2.14)

Что и надо было доказать.

Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому на­правлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направ­ле­ния действия.