3.4. Пример определения эмпирической дисперсии

В качестве примера найдем распределение эмпирической дисперсии:

определенной на основании выборки из нормальной совокупности с параметрами а и . Если заменить на , то величина не изменится. Поэтому без ограничения общности будем полагать, что а=0, а величины х_i - независимы и распределены по закону N(x,0, ). Перейдем от величин х_i к системе величин у_i , связанных с х_i соотношениями

В еличины у_i так же, как х_i , нормально распределены и независимы, а коэффициенты в линейных формах при переменных х_i правой части удовлетворяют условиям ортогональности. Далее должно выполняться равенство:

Из этих условий следует, что

Отсюда:

y_i - линейные комбинации нормальных переменных - распределены также нормально с параметрами (0, );

коэффициенты корреляции между каждой парой переменных у_i и у_j равны нулю.

Поскольку , то имеем:

И ли

Так как случайная величина

представляет собой сумму квадратов (n-1) взаимно

независимых случайных переменных , распределенных

с огласно N(x,0,l), то, как было доказано ранее,

распределена по закону: с (n-1) степенями свободы.

Отметим, что в выборке из нормальной генеральной совокупности с параметрами (а, ) средняя арифметическая и оценка дисперсии взаимно независимы; распределена

п о закону , , а

следует закону с (n-1) степенями свободы.

Так как случайная величина представляет собой сумму квадратов (n-1) взаимно независимых случайных переменных , распределенных согласно N(x,0,1), то, как было доказано ранее, распределена по закону с (n-1) степенями свободы.

Лекция 4

Вопросы лекции:

4.1. Метод моментов Пирсона.

4 .2. Метод наименьших квадратов.

4.3. Метод максимального правдоподобия.

Оценка параметра распределения определяется на основе элементов выборки с помощью выборочной функции. Свойства оценки параметра распределения зависят от структуры выборочной функции и элементов выборки. Синтез структуры выборочной функции можно осуществлять двумя способами.

Первый основан на интуиции исследователя, т.е. задается некоторым способом выборочная функция, а затем устанавливаются свойства оценок. Такой метод перебора не является эффективным, поскольку существует достаточно большое число эффективных вариантов задания выборочной функции.

Второй основан на применении специальных методов построения выборочных функций. Причем в этом случае заранее известно, какими оптимальными свойствами обладают оценки.

4.1. Метод моментов пирсона

Рассмотрим методы построения оценок с заранее известными свойствами.

Первым общим методом, предложенным для этой цели, является метод моментов, разработанный Пирсоном. Суть метода заключается в приравнивании определенного количества выборочных моментов соответствующим моментам распределения, являющимися функциями от неизвестных параметров. Решая полученные уравнения относительно

неизвестных параметров, получим искомые оценки. Преимущество метода -сравнительная его простота.

Определим оценку одного параметра с помощью метода моментов.

Допустим, задан вид плотности распределения f(x, ), определяемый одним неизвестным параметром . Требуется найти точечную оценку параметра по выборке объема п. Следуя методу моментов, приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка:

и ли

Решив это уравнение относительно , получим его точечную оценку , которая является функцией от выборочной средней .

Пример. Найти методом моментов по выборке объема n точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения

Решение. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка:

или

О ткуда

Итак, искомая точечная оценка параметра равна величине, обратной выборочной средней.

Определим оценки двух параметров распределения.

П усть задан вид плотности распределения f(x, , ), определяемый неизвестными параметрами , . Для определения оценок , и сформируем два уравнения. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка

или

Решив эту систему относительно , и , получим оценки:

Пример. Найти методом моментов по выборке объема n точечные оценки неизвестных параметров и нормального распределения.

Решение. Приравняем начальные теоретические и эмпирические моменты первого порядка, а также центральные теоретические и эмпирические моменты второго порядка:

О ткуда

Для оценок неизвестных параметров можно приравнивать не только сами моменты, но и функции от моментов.

Следует отметить, что получение точечных оценок с помощью метода моментов содержит в себе элемент произвола, так как, кроме моментов, можно приравнивать соответствующие значения теоретических и выборочных медиан, коэффициентов асимметрии, эксцессов и т.п. В этом .случае мы также будем получать систему уравнений для определения оценок неизвестных, параметров. Таким образом, нет оснований предполагать, что с помощью метода моментов можно получить наилучшие в каком-либо смысле оценки. Однако, в силу сравнительно простых вычислений, метод моментов используют на практике. Оценки параметров, полученных с помощью метода моментов, иногда принимают в качестве первого приближения, которые затем уточняются другими методами. Доказано, что оценки, полученные по методу моментов, всегда состоятельны.