Лекция 3

Вопросы лекции:

3 .1. - распределение

3.2. Распределение t-Стьюдента

3.3. F - распределение

3.4. Пример определения эмпирической дисперсии

3 .1. - РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Исследование свойств выборочных характеристик требует знания точных законов их распределения. Рассмотрим точные законы распределения наиболее часто встречающихся выборочных характеристик. Для того чтобы найти распределение эмпирической дисперсии, предварительно установим распределение величины

где х_i, - независимые, нормально распределенные величины ~ N(x; 0; 1). Значения нормальной функции распределения приведены в справочниках по теории вероятности и математической статистике.

Пусть для некоторого х > 0 справедливо соотношение

П оскольку величины х_i независимы и каждая из них имеет плотность распределения,

то совместная плотность величин х₁,...,х_n выразится

п роизведением

П оэтому для К _n (х) найдем выражение

в виде n-мерного интеграла, распространенного на область g_n,x, определяемую неравенством

Интеграл выражает вероятность попадания случайной точки

Q(x₁,...,x_n) в область g_n,x. Найдем производную от функции К_n(х).

Давая х приращение h>0, получим:

(7)

Применим теорему о среднем, и из (7) получим

(8)

(9)

Положим

Т огда интеграл в правой части (8) можно записать в виде S_n(x + h) - S_n(x) . Произведем замену переменных в (9):

(10)

Тогда

где C_nl - объем сферы n-мерного пространства

единичного радиуса. Из (8) и (10)

с ледует:

Перейдем к пределу при h->0, найдем

(11)

Значение С_n,3 может быть установлено из условия

откуда

С

(12)

делаем подстановку: x=2z, тогда

Интеграл вида

п ри р>0 носит название гамма-функции. Уравнение (12) может быть переписано в виде

о ткуда

Подставив значение С_n,3 в (11), получим

Закон распределения k_n(x) - суммы квадратов n независимых нормальных величин носит название -распределения. Число n называется числом степеней свободы.

-распределение обладает свойством: две независимые величины и , распределенные по закону с n и р степенями свободы, соответственно дают в сумме величину , распределенную также по закону c n+p степенями свободы. Критические точки распределения приведены в справочниках.

3.2. Распределение t- стьюдента

Многие задачи статистики сводятся к рассмотрении) распределения величины вида

(13)

где z и v независимы, z распределена нормально N(z,0,l), a v подчиняется -распределению с k степенями свободы. При этих условиях плотность вероятности величины t имеет вид

(13)

где

Закон распределения величины t носит название закона Стьюдента с k степенями свободы.

3.3. F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

С ущественную роль в прикладных задачах играет распределение величины

где и и v распределены но закону с k₁ и k₂ степенями свободы. Распределение F имеет плотность

(14)

Функция распределения (14) носит название F-распределение с k₁ и k₂ степенями свободы. Критические точки F-распределения приведены в справочниках.