8.4. Сравнение выборочной средней с гипотетичесчкой генеральной средней нормальной совокупности.

Рассмотрим задачу сравнения средней с нормативом. Подлежит проверке нулевая гипотеза Н_o: = , т.е. генеральная средняя равна некоторому числу a. С подобного рода задачами встречаются при проверке качества продукции, характеризуемого некоторым средним показателем. Так например, станкоавтомат изготавливает партию деталей X₁,..., X_п. (X_i — размер i-ой дета­ли). Требуется проверить значимо или незначимо различаются и a  проектируемый размер детали. Если различие окажется незначительным, то станок обеспечивает проектный размер детали, если различие значимое, то станок-автомат требует регулировки. Эта задача относится к классу задач сравнения выборочной средней с гипотетической генеральной средней.

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней установлена выборочная средняя , причем генеральная дисперсия известна. Необходимо проверить нулевую гипотезу Н_о:а=a_о о равенстве генеральной средней a. гипотетическому значению п_о, при конкурирующей гипотезе Н₁:аа_о. Учитывая, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, т. е. Е( ) = a, то H_o:E( )=a_o.

Таким образом, необходимо установить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние.

При выборе статистики для построения критерия проверки гипотезы Н_о необходимо различать случаи больших и малых выборок. Допустим, что диспер­сия генеральной совокупности известна или может быть вычислена на основе выборки большого объема (в результате проведения экспериментов получена выборка большого объема). Вычислим выборочную среднюю . Для случая выборки большого объема, параметр будет асимптотически подчиняться нормальному закону распределения. В качестве критерия проверки гипотезы целесообразно выбрать не выборочную среднюю, а нормированное ее отклонение

U= =

Так как Е[U] = 0, [U]= 1, то распределение U есть нормированное нормальное распределение, которое удобно использовать в расчетах.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить гипотезу Н_о: a = a_о необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку', двухсторонней критической области по равенству Ф( ) =(1)/2

Если |U_H| < U_kp, то нет оснований отвергнуть гипотезу Н_о, в противном случае ее отвергают.

При конкурирующей гипотезе Н₁:а>а_о критическую точку правосто­ронней критической области находят по равенству Ф( U_kp ) = =(1)/2.

Если U_H< U_kp , то нет оснований отвергнуть Н_о, в противном случае ее отвергают.

При конкурирующей гипотезе Н₁ :а < а_о сначала находят критическую точку U_kp как в случае правосторонней критической области, а затем полагают =-U_kp.

Если U_H > , то нет оснований отвергнуть гипотезу Н_о, в противном случае ее отвергают.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности с известным среднеквадратическим отклонением =0.36 извлечена выборка объемом n= 36 и по ней найдена выборочная средняя = 21.6. Необходимо при уровне значимости  = 0.05 проверить Н_о: а =a₀ = 21, при конкурирующей гипотезе H₁:a21

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: U_H = 10. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид аa₀, поэтому критическая область двухсторонняя. Найдем критическую точку из уравнения

Ф( ) =(1)/2= 0.475.

По таблице функции Лапласа находим = 1.96. Так как U_H > U_kp , то гипотезу Н_о  отвергаем, т.е. выборочная гипотетическая генеральные средние различаются значимо.

ЛИТЕРАТУРА

1 Ban дер Варден Б.А. Математическая статистика. - М.; ИЛ, 1960. - 434 с.

2. Вентцель B.C., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.; Наука, 1988.-480 с.

3. Гихман И.И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. - Киев;

Выщашк., 1979.-408 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.; Высш. шк., 1977.-479 с.

5. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. - Л.; Энергоатомиздат, 1990. - 288 с.

6. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. - 588 с.

7. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973. - 809с.

8. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1982. - 256 с.

9. Коваленко И.Н., Гнеденко Б.В. Теория вероятностей. - К.: Выща. шк., 1990. - 328с.

10. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Наука, 1991. -648 с.

11. Леман Э. Теория точечного оценивания. - М.: Наука, 1991. - 448 с.

12. Мармоза А.Т. Практикум по математической статистике. - К.: Вища шк., 1990. -191 с.

13. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. /С.А. Айвазян и др. - М.: Наука, 1979. - 495 с.

14. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979.-495 с.

15. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния: Пер. с англ. / Хапмель Ф. и др. - М.: Мир, 1989. - 512 с.

16. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова /. - М.: Наука, 1965. - 656 с.

17. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. I.: Пер. с англ. / Под ред. Э. Лоида и др. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 510 с.

18. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Статистическая теория распознавания образов. -М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

19. Шметгерер Л. Введение в математическую статистику. - М.: Наука, 1976. - 520 с.

20. Четыркин В.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансы и стастика, 1982. -319с.

57