8.2. Сравнение двух средних, произвольно распределенных генеральных совокупностей (выборки большого объема и независимы).

Ранее предполагалось, что генеральные совокупности X и Y распределены нормально, а их дисперсии известны. В этом случае критерий z распределен точно нормально с параметрами E[z]=0 и D[z]=1. Если хотя бы одно из требований не выполняется то метод сравнения средних, описанный ранее неприменим.

Рассмотрим ситуацию, когда независимые выборки имеют большой объем n₁ > 30 и n₂ >З0. Такое допущение позволяет считать выборочные средние случайными величинами, которые распределены нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий. В итоге критерий проверки гипотезы имеет вид

Распределен приближенно нормально с параметрами E[ ] = 0_; (при условии справедливости Н_о) и D[ ]=1 (если выборки независимы).

Таким образом, если генеральные совокупности распределены нормально и дисперсии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы, то можно сравнивать средние так как описано ранее, заменив точный критерий приближенным критерием . В этом случае наблюдаемое значение приближенного критерия вычитается по формуле

Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n₁ =10 и m=120, найдены выборочные средние =32.4, =З0.1 и выборочные дисперсии = 15, =25.2. При уровне значимости  = 0.05 проверить H_о:E[x] = Е[y] при конкурирующей гипотезе H₁:E[x]Е[y].

Решение. Вычислим z'= 3.83. Согласно конкурирующей гипотезе критическая область правосторонняя. Найдем критическую точку

Ф( ) =(12)/2=0.45.

По таблице функции Лапласа находим = 1.64. Посколь­ку > нулевую гипотезу отвергаем, т.е. выборочные средние различаются значимо.

8.3. Сравнение двых средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

Допустим генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Предположим, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой.

Необходимо проверить нулевую гипотезу H_o:E[x] = E[y], т. е. требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , вычисленные по независимым малым выборкам объемов n и т.

В качестве критерия проверки Н_о примем случайную величину

Величина Т при справедливости нулевой гипотезы Н_о имеет t — распределение Стьюдента с k=n+m 2 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы.

Рассмотрим случай, когда конкурирующая гипотеза H₁ имеет вид Е[х]E[y]. В этом случае формируют двухстороннюю область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания значения критерия T в эту область в

предположении справедливости нулевой гипотезы Н_о была равна принятому уровню значимости .

Наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда "левая" и "правая" критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов двухсторонней критической области равна  /2.

, .

Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двухсторонней критической области через , то левая граница равна  . Тогда достаточно найти праву границу двухсторонней критической области, чтобы найти саму двухстороннюю критическую область.

Правило проверки нулевой гипотезы Н_о формируется следующим образом. Если |T_H| <  , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Н_о, в противном случае Н_о отвергают.

Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно; равны n = 5 и m = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние = 3.3, = 2.48 и исправленные дисперсии = 0.25 и = 0.108. При уровне значимости  = 0.05 проверить нулевую гипотезу H_o:E[x]=Е[у], при конкурирующей гипотезе H₁:E[x] Е[у]

Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента T_H =3.27. По уровню значимости  и числу степеней свободы k = 9 находим по таблице критическую точку =2.26.

Так как T_H > t_kp  нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних отвергаем, т.е. выборочные средние различаются значимо.

Рассмотрим случай, когда конкурирующая гипотеза H₁ имеет вид E[x]>Е[у].

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы Н_о была равна принятому уровню

значимости .

Критическую точку t_p.cp(,k) находят по таблице, по уровню значимости  и числу степеней свободы k =n+m 2.

Если T_H < , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Н_о, в противном случае Н_о отвергают.

Рассмотрим случай, когда конкурирующая гипотеза H₁ имеет вид E[x]<Е[у]

В этом случае строят левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы Н_о была равна принятому уровню значимости

В силу симметрии распределения Стьюдента относительно нуля = -Поэтому сначала необходимо найти , a затем положить = . Если T_H > , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу Н_о, в противном случае Н_o отвергают.