7.2. Сравнение статистических частот, вычисленных по двум выборкам.

В результате проведения опыта получены две выборки объемами n₁ и n₂. Гипотезой Н_о является предположение, что выборки извлечены из одной генеральной совокупности с некоторой долей признака p, а отмеченное расхождение частот есть результат случайностей, сопровождающих отбор. Формируя критерий проверки гипотезы, будем различать большие и малые выборки.

Большие выборки. Если n₁ и n₂  большие числа (примерно более 30), то распределение статистических частот близко к нормальному с параметрами

E[m₁/n₁]=E[m₂/n₂] = p,

²[m₁/n₁] = p(1p) / n₁ ,  ²[m₂/n₂] = p(1p) / n₂.

Введем для проверки гипотезы статистику .

При справедливости нулевой гипотезы Н_о значение может лишь случайно отличаться от нуля. Статистика подчиняется нормальному распределению с параметрами:

Е[ ] = 0,

=p(1p)((1/n₁)+(1/n₂)).

Зададим уровень значимости  и найдем Z_/2 из уравнения

P{| |<z_/2.[ ]} = 2Ф(t) = l-, откуда получим критические точки = z_/2[ ], = z_/2[ ].

Величину p заменяем ее оценкой = (m₁+m₂)/(n₁+n₂). Если вы­борочное значение лежит в интервале ( ₁, ₂), то нулевая гипотеза Н_о не отклоняется, в противном случае Н_о отклоняется.

Пример. Число бракованных деталей в экспериментальной партии составило 4 из 100, в то время как в контрольной 12 из 500. Оценить с уровнем значимости =0.01 существенность расхождений долей брака в двух партиях.

По величине  = 0.01 находим табличное значение z_/2=2.58.Далее имеем p=0.027, откуда =0.0177. Следовательно, = 0.0458 и ₂ = 0.0458, = 0.016 т.е. лежит в допустимой области, т.е. нулевая гипотеза Н_о не отвергается.

Малые выборки. Если n₁ и n₂  малые числа, то использование нормального распределения для статистики становится неверным. В этом случае рекомендуется использовать критерий который вычисляется следующим образом.

+

где p = (m₁+m₂)/(n₁+n₂).

Если нулевая гипотеза Н_о верна, то расхождение между теоретическими и статистическими частотами можно отнести только за счет случайностей отбора.

Поэтому, определив для заданного уровня значимости  значение примем решение об отклонении гипотезы Н_о если < , и о незначимости расхождений, если < •

Пример. При испытании нового препарата больные были распределены на две группы. В экспериментальной группе из 50 больных к концу лечения осталось 9 больных, в контрольной (где лечение осуществлялось без данного препарата) из 30 осталось 7 больных. Необходимо проверить существенность воздействия препарата. Расчет теоретических частот произведем по оценке = 0.2, а эмпирическое значение критерия равен 0.333. При  = 0.05 и числе степеней свободы v = 1 находим ⁼ 3.8. Таким образом, < , т.е. расхождение частот незначимо и не может быть отнесено за счет влияния препарата.

Лекция 8

Вопросы лекции:

8.1. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (выборки независимы).

8.2. Сравнение двух средних, произвольно распределенных генеральных совокупностей (выборки большого объема и независимы).

8.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

8.4. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.

Проверка гипотезы о равенстве двух центров распределения имеет важное практическое значение. Так например, средний результата в одной серии экспериментов заметно отличается от среднего результата в другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних случайными ошибками эксперимента или оно вызвано какими-либо незамеченными закономерностями? На практике эта задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных при различных технологических режимах.

Сформулируем задачу сравнения двух центров распределения в общем ви­де.

Необходимо проверить нулевую гипотезу Н_о:Е[х]=E[y] против альтернативной гипотезы Н₁: |E[x] — E[y]| > 0 на основе двух независимых выборок объемами n₁, n₂ извлеченных из генеральных совокупностей X, Y.