6.6. Гипотезы о числовых значениях параметров генеральной совокупности.

Допустим, что ряд наблюдений х_1,……,х_n дает значение некоторого параметра детали, измеренные на n деталях. Эти детали случайно отобраны из массовой продукции определенного станка. Пусть также а₀ - заданное номинальное значение этого параметра. Каждое отдельное значение x_i может отклоняться от заданного номинала. Для проверки правильности настройки станка, необходимо убедиться в том, что среднее значение параметра у производимых на нем изделий будет соответствовать номиналу. Фактически следует проверить гипотезу

H: E[x] = a₀.

К гипотезе аналогичного типа можно перейти, если проверять статистическую незначимость отличия от нуля выборочного коэффициента корреляции, построенного по совокупности двухмерных наблюдений. В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид

,

где - параметр распределения, - область его конкретных гипотетических значений, которая может состоять всего из одной точки.

Лекция 7

Вопросы лекции:

7.1. Сравнение доли признака с нормативом.

7.2. Сравнение статистических частот, вычисленных по двум выборкам.

Рассмотрим два основных вида задачи проверки статистических гипотез относительно вероятности: сравнение доли признака с нормативом и сравнение долей для случая двух выборок.

7.1. Сравнение доли признака с нормативом

Допустим по достаточно большому числу n независимых опытов, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, но неизвестна, найдена относительная частота m/n. Имеются основания предполагать, что неизвестная вероятность равна гипотетическому значению p_о. Необходимо при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н_о: = р_о, против альтернативы H₁: p_о где p=m/n. В качестве критерия проверки Н_о примем статистику =m/n. Эта статистика при любом n распределена по биномиальному (для возвратной выборки) или гипотетическому (для безвозвратной выборки) закону распределения. Однако, при достаточно большом n можно использовать асимптотическое распределение - нормальное. Исходя из нормального распределения и уровня значимости , найдем z_/2 из равенства

2Ф(z)=1-, где [m/n]= .

Решив последнее уравнение, получим доверительные границы для , откуда находим критические точки

₁=p_оz_/2[m/n], ₂=p_о+z_/2[m/n].

Решающее правило проверки нулевой гипотезы Н_о: если окажется в допустимой области (₁,₂) то H_о не отклоняется, в противном случае Н_о отклоняется.

Допустим нулевая гипотеза Н_о проверяется против альтернативной H₁: >p_o. В этом случае используется односторонняя проверка с помощью z_ , определяемой из уравнения . Откуда ₂ ⁼ p_оz_/2[m/n]. Гипотеза Н_о отклоняется, если m / n > ₂ .

Пример. Производится проверка соответствия содержания активного вещества в продукции стандарту, который равен 10%, т.е. проверяется нулевая гипотеза Н_о: 0.1, против альтернативной H₁:  0.1, где — доля активного вещества в продукции. Для контроля произведена выборка из 100 проб, на основе которой установлено значение параметра =0.152. Задавшись уровнем значимости =0.05, находим по таблице функции Лапласа z_/2=1.96, откуда ₁=0.041, ₂=0.159. Поскольку оказывается в допустимой области нулевая гипотеза Н_о не отклоняется.

Проверим нулевую гипотезу H_о: =0.1 против альтернативной Н₁: > 0.1, при уровне значимости =0.05. Из уравнения

.

находим z_ = 1.65 откуда ₂=0.149. Поскольку p >₂ то гипотеза Н_о отклоняется.

Задавшись альтернативной гипотезой H₁: =a₁ можно определить мощ­ность критерия 1. Для случая двусторонней проверки значение параметра :

при условии справедливости H₁ и E[m/n] = a₁, ₁= . Если a₁ >p, то ми­нимизация параметра  при заданном  приводит к односторонней критической области вида m/n>₂ • Поэтому значение критической точки ₂ следу­ет определять с помощью уравнения =0.5 — Ф(z)=.

В этом случае для  получим = =0.5 + .

Пользуясь этим выражением можно определить значение  при заданном n, или найти n при заданном .

Пример. В предыдущем примере при односторонней проверке нулевой гипотезы Н_о о соответствии продукции стандарту была отклонена. Определим значение 1, т.е. вероятность правомерного отклонения нулевой гипотезы Н_о. Вычислим значение : = P{m/n < ₂ } = 0.5 + Ф(- 1.25).

Здесь Ф(1.25) =0.3944, следовательно =0.11, 1=0.89.

Продолжим анализ и решим обратную задачу: каков должен быть объем выборки n, чтобы вероятность ошибки второго рода составляла 0.05.

=0.45.

По таблице функции Лапласа (см. прил. 7) находим (₁a₁)/₁=1.65. Подставляя значения ₂ = 0.15, a₁=0.2 и ₁ = получим n= 174.