Геометрический смысл производной.

Если прямая y = kx+b является касательной к графику функции и проведена в точке с координатами(x₀;f(x₀)), то угловой коэффициент k касательной находят по формуле: или , где а - угол между касательной и положительным направлением оси Ох.

Физический смысл производной.

Если s(t) - закон прямолинейного движения точки, то скорость этого движения в момент t находят по формуле , а ускорение - по формуле

Пример 1. Найдите производную функции .

Ответ.

Степени и арифметические корни

Произведение n сомножителей, каждый из которых равен a, называют n-ной степенью числа a.

Арифметическим корнем n-ной степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число b, n-ая степень которого равна a: <=> bⁿ=a .

Свойства степеней и арифметических корней:

a⁰=1

1ⁿ=1

aⁿa^m=a^n+m

(aⁿ)^m=a^nm

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

Внесение множителей под знак корня и вынесение множителей из-под знака корня

В случае нечетной степени корня всякий множитель можно внести под знак этого корня, а если степень множителя выше степени корня, то и вынести из-под знака этого корня.

В случае четной степени корня необходимо помнить, что:

1) при внесении множителя под знак квадратного корня (в общем случае под знак корня четной степени) необходимо учитывать знак этого множителя:

, если a>0 или , если a<0

2) при извлечении квадратного корня (корня четной степени) из произведения необходимо учитывать, что корень определен и в случае, если оба множителя положительны, и в случае, если оба множителя отрицательны:

, если a>0 и b>0; , если a<0 и b<0.

Квадратные уравнения

Квадратным называют уравнение вида ах² +bх+с = 0, где a, b и с- действительные числа и .

Квадратное уравнение вида х² +bх+с = 0 называют приведенным. В приведенном уравнении коэффициент при x равен единице.

Выражение D = b² -4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Возможны три случая: D>0, D = 0, D<0.

1. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, определяемых по формуле:

2. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, определяемых по формуле:

3. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения ах² +bх+с = 0 равна , а произведение корней этого уравнения равно .

Квадратный трехчлен f(x)=ах²+bх+с можно разложить на линейные множители следующим образом:

ах² +bх+с = a(x-x₁)(x-x₂),

где числа x₁ и x₂ - корни этого трехчлена.

Задания для решения:

1) Определите коэффициенты квадратного уравнения x² + px+q=0 , если известно, что его корни равны – р и - q.

2) Найдите значения параметра а, при котором уравнение

имеет:

а) один корень;

б) два разных корня.

Тригонометрические преобразования и вычисления

Преобразования и вычисления тригонометрических выражений выполняются с помощью тригонометрических тождеств и формул приведения, учитывая свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Выполняя преобразования и вычисления тригонометрических выражений, необходимо помнить, что целое количество основных периодов тригонометрической функции можно вычитать из аргумента функции или прибавлять к ее аргументу.

Основные тригонометрические тождества

sin²x+cos²x=1

Формулы сложения

Формулы двойного и тройного аргумента

sin2x = 2sinxcosx

cos2x = cos²x-sin² x

sin3x = sinx(3-4sin²x)

cos3x = cosx(4cos² x-3).

Формулы понижения степени

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы преобразования произведения в сумму

Задания для решения

1) Преобразуйте в произведение сумму: cos2а – cos3а - cos4а+cos5а.

2) Вычислите , если

Исследование функции с помощью производной.

1. Определение промежутков монотонности функции

Функция у = f(x) возрастает на промежутке (а; b), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х₁ < х₂ следует неравенство f{x₁) < f(x₂).

Функция у = f(x) убывает на промежутке (а; b), если для любых х₁ и х₂, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х₁ < х₂ следует неравенство f{x₁) > f(x₂).

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке f ‘ (х) > 0 , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если f ‘ (х) < 0, то функция убывает на этом промежутке.