36.1. Висловлення предикатів

Нехай А и В - деякі висловлення, що можуть бути вірними («1») чи помилковими («0»). Якщо позначити літерами прості висловлення, можна представити складне висловлення за допомогою відповідних логічних операцій.

Приклад. А - «Я піду в театр», В - «Я зустріну друга», А&В - «Я піду в театр і зустріну друга».

Якщо висловлення вірне, то його заперечення помилкове. Звичайно висловлення виражають властивості одного чи декількох об'єктів.

Приклад. А - «Тиск масла на кульку клапана більше тиску пружини», В - «Масло відкриває клапан», С - «Масло перетікає з нагнітальної порожнини у впускну» А→В→С.

Змістовна частина висловлення відіграє роль визначальної властивості сукупності об'єктів, для яких це висловлення вірне, і називається предикатом. Предикат являє собою логічну функцію Р(х), що як і булеві функції може приймати значення «0» чи «1», але на відміну від них значення аргументу можуть вибиратися з деякої множини М об'єктів, яку називають областю визначення, тобто хМ.

У загальному випадку така функція може бути залежною від багатьох змінних х₁, х₂,..., х_n, що приймають значення з тої самої множини X чи різних множин X₁, X₂,…, і може записуватися як Р(х₁, х₂,..., х_n).

36.2. Логіка предикатів

Аргументи неоднорідних функцій, на відміну від однорідних можуть приймати значення з будь-яких скінченних чи нескінченних множин, але область значень самих функцій обмежена скінченними множинами.

Визначення. N-місцевим предикатом називається неоднорідна двозначна логічна функція від n аргументів вигляду Р(х₁, х₂,.., х_n) з областю значень {0, 1}.

Аргументи N-місцевого, або N-арного предиката являють собою об'єкти з деякої області визначення Х (хХ) і називаються предметними змінними. Конкретні значення змінних називаються предметними постійними. Предметні змінні та предметні постійні утворюють клас логічних понять, які називають термами.

Визначення. Термом є: а) деяка предметна змінна або константа; b) f(f₁, f₂,... f_n), якщо f – функціональна літера та f₁, f₂,... f_n – терми; c) деякій вираз, коли це слідує з правил a), b).

Приклад. Р(х₁, х₂) - «х₁, х₂ - парні числа», де х₁, х₂Х, Х - множина натуральних чисел. У тому випадку Р(2, 3)=0, тобто ложно, а Р(2, 4)=1, тобто істинно

При заміщенні аргументу «х_і» деякім його значенням «а» N-місцевий предикат Р(х₁, х₂,..., х_n) перетворюється в (N-1)- місцевий предикат Р(х₁, х₂,..., а,..., х_n) і від змінної х_і вже не залежить. N-місцевий предикат, у якому всі х₁, х₂,…,х_n змінних замінені постійними значеннями, перетворюються у висловлення, яке можна розглядати як 0-місцевий предикат.

Приклад. Р(х₁, х₂, х₃) - «х₁ є сумою х₂ і х₃», 3-місцевий,

Р(5, х₂, х₃) - «5 є сумою х₂ і х₃», 2-місцевий,

Р(5, 3, х₃) - «5 є сумою 3 і х₃», 1-місцевий,

Р(5, 3, 2) = 1 - «5 є сумою 3 і 2», - 0-місцевий вірний,

Р(5, 3, 1) = 0 - «5 є сумою 3 і 1» - 0-місцевий помилковий.

У логіці предикатів часто використовуються дві основні операції, що називають кванторами. Нехай Р(х) - предикат, визначений на множини значень аргументу Х.

Визначення. Твердження, що всі хХ мають властивість Р(х), записується за допомогою квантора спільності  у вигляді х Р(х) чи х Р(х), що читається як «для всіх хХ Р(х) - предикат від х - вірний».

Визначення. Твердження, що існує хоча б один об'єкт х, що володіє властивістю Р(х), записується за допомогою квантора існування  у вигляді хХ Р(х) чи х Р(х), що читається як «існує х, що Р(х) - предикат від х - вірний».

Квантори  і  зв'язують перемінну х і перетворюють одномісний предикат у висловлення. Очевидно, «х Р(х)», розглянуте як висловлення, істинне тільки за умови, що Р(х) - тотожно вірний предикат, у всіх інших випадках це висловлення помилкове. «хР(х)», розглянуте як висловлення, завжди вірне, крім єдиного випадку, коли Р(х) - тотожно помилковий предикат.

Приклад. Нехай Р(х) - «х - просте число», де х і Х - множина натуральних чисел, тоді висловлення:

а) х Р(х)=0 - «усі натуральні числа прості» - помилкове; б) х Р(х)=1 - «існує просте натуральне число» - вірне.

Застосування квантора до N-місцевого предиката перетворює останній у (N-1)- місцевий предикат та знижує його арність. У загальному випадку можливе застосування до одного N-місцевого предиката декількох кванторів. Якщо до N-місцевого предиката застосувати k-кванторів, де k≤n, то предикат перетворюється в (N-k)- місцевий предикат, якщо k=n, то предикат перетворюється у висловлення. Змінні, до яких застосовуються квантори, називаються зв'язаними, інші змінні називаються вільними.

Приклад : хР(х, у) - 1-місцевий предикат, хуР(х, у) – 0-місцевий предикат, або висловлення.