Тема 13. Волновая оптика

До установления природы света были установлены основные законы оптики:

1. Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

Пример: Наличие тени с резкими границами от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками света.

2. Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены.

3. Законы отражения и преломления света: падающий, отраженный, преломленный лучи и перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред лежат в одной плоскости.

Угол падения равен углу отражения

- закон отражения

Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред

- закон преломления

где n₂₁ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

- относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления.

Тогда закон преломления света можно записать в виде

Отсюда вытекает обратимость световых лучей: если преломленный луч падает на границу раздела сред под углом β, то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом , т.е. пойдет в обратном направлении вдоль луча 1.

Различают абсолютный и относительный показатели преломления.

- абсолютный показатель преломления

– величина, равная отношению скорости света в вакууме к скорости света в среде.

- относительный показатель преломления – величина, равная отношению скорости света в одной среде к скорости света в другой среде.

Если свет распространяется из оптически более плотной среды n₁ (с большим n) в оптически менее плотную n₂ (с меньшим n), то

С увеличением угла падения α увеличивается и угол преломления β. При некотором угле падения α угол преломления будет β=90⁰ – предельный угол – падающий свет полностью отражается, причем интенсивности падающего и отраженного света одинаковы. Это явление называют полным внутренним отражением света.

Предельный угол β _пр sin β _пр =

Явление полного отражения используется в призмах полного отражения (рефрактометр).

Геометрическая оптика - раздел оптики, в котором законы распространения света рассматриваются на основе представления о световых лучах.

Световые лучи - нормальные к волновым поверхностям линии, вдоль которых распространяется поток световой энергии.

Линзы – прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями.

По внешней форме линзы делятся на двояковыпуклые, двояковогнутые и т.д.

По оптическим свойствам – на собирающие и рассеивающие.

Тонкая линза – толщина значительно меньше по сравнению с радиусами поверхностей, ограничивающих линзу.

- формула тонкой линзы

- оптическая сила линзы

Линзы с положительным D - собирающие, с отрицательным D – рассеивающие.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называетя линейным увеличением линзы

- линейное увеличение

В реальных оптических системах возникают искажения изображения – аберрации, обусловленные тем, что показатель преломления линзы считали не зависящим от длины волны падающего света, а падающий свет монохроматическим.

Виды аберраций (погрешностей):

- сферическая аберрация

- кома

- дистория

- хроматическая аберрация

- астигматизм

Электронная оптика – область физики, в которой изучаются вопросы формирования, фокусировки и отклонения пучков заряженных частиц и получения с их помощью изображений под действием электрических и магнитных полей в вакууме.

Комбинируя различные электронно-оптические элементы – электронные линзы, зеркала, призмы – получают электронно-оптические приборы: электронно-лучевую трубку, электронный микроскоп, электронно-оптический преобразователь.

Волновые свойства света проявляются в следующих явлениях: интерференция, дифракция и поляризация.

Интерференция света - такое сложение световых волн, в результате которого образуется устойчивая картина их усиления и ослабления. Необходимое условие интерференции волн - их когерентность – при одинаковой частоте постоянную разность фаз. Этому условию удовлетворяют только монохроматические волны.

Ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, поэтому на опыте не наблюдается интерференция света от двух независимых источников, например, от двух электрических лампочек.

Для световых волн, как и для любых других справедлив принцип суперпозиции. Так как свет имеет электромагнитную природу, то применение этого принципа означает, что результирующая Е электрического (магнитного) поля двух световых волн, проходящих через одну точку, равна векторной сумме напряженностей электрических (магнитных) полей каждой из волн в отдельности.

Рассмотрим две монохроматические световые волны (х - Е или H)

х₁ = Аcos(ωt+φ₁)

х₂ = Аcos(ωt+φ₂)

которые накладываясь друг на друга в какой-то определенной точке возбуждают колебания одинакового направления. Амплитуду результирующего колебания находим путем геометрического сложения амплитуд исходных колебаний

Волны когерентны и, следовательно, имеет постоянное во времени значение, поэтому J ≈ A² , где J - интенсивность света

Когерентные световые волны можно получить применяя метод разделения волны, излучаемой одним источником на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга и наблюдается интерференционная картина их усиления или ослабления.

Произведение геометрической длины пути d световой волны в данной среде на показатель преломления n этой среды называется оптической длиной пути или оптической разностью хода лучей

Δd = nd₂ -nd₁ - оптическая разность хода

Если оптическая разность хода равна целому числу волн, то наблюдается

- максимум интерференции

Если оптическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн, то

- минимум интерференции

где k = 0,1,2…

В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри), возникающие в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки.

p Пусть на плоскопараллельную прозрачную

пленку с показателем преломления n и

толщиной d под углом i падает плоская

A монохроматическая волна (для простоты

i i рассмотрим один луч).

i На поверхности пленки в точке О луч

0 В d разделится на две части: частично отра -

зится и частично преломится.

С n

Преломленный луч, дойдя до точки С частично преломится в воздух (n₀=1), частично отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отразится и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны. Если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся и дадут интерференционную картину.

Дифракция - огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути или отклонение распространения волн вблизи препятствий.

Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Различают дифракцию Френеля и Фраунгофера.

Дифракция Френеля – дифракция сферических волн или дифракция на круглом отверстии и на диске.

Дифракция Фраунгофера – дифракция плоских световых волн или дифракция в параллельных лучах.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от

бесконечно длинной щели.

Пусть плоская монохроматическая волна

падает нормально плоскости узкой щели

шириной а. Оптическая разность хода

между крайними лучами МС и ND

идущими от щели в произвольном направ

лении φ

Δ = NF = аsin φ – оптическая разность

хода

где F – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND.

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны Френеля равна λ/2.

Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла φ.

Если число зон Френеля четное, то

- условие минимума дифракции

Если же число зон Френеля нечетное, то

- условие максимума дифракции

В прямом направлении (φ=0) щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т.е. в точке В₀ наблюдается центральный дифракционный максимум.

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через дифракционную решетку – систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных по ширине непрозрачными промежутками. При использовании белого света каждый максимум приобретает радужную окраску: внутренний край – фиолетовую, наружный – красный т.к. фиолетовому цвету соответствуют наиболее короткие волны, а красному наиболее длинные.

Период решетки

где N – число штрихов на единицу длины.

Если дифракционная решетка состоит из N, то условием главных максимумов является условие

Благодаря законам интерференции и дифракции появился новый способ фиксирования и воспроизведения пространственного изображения предметов – голография – основанный на регистрации интерференционной картины. Идея голографирования состоит в том, что фотографируется распределение интенсивности в интерференционной картине, возникающей при суперпозиции волнового поля объекта и когерентной волны, идущей от источника света (опорной волны). Основное применение голографии – запись и хранение информации. Методы голографии позволяют записывать в сотни раз больше страниц печатного текста, чем методы обычной микрофотографии – на одной фотопластинке размером 32*32мм можно разместить книгу свыше 1000 страниц.

Свет – электромагнитная волна – совокупность двух поперечных взаимно-перпендикулярных электрической Е и магнитной Н волн.

Различают естественный и поляризованный свет.

Е

Н естественный поляризованный частично

Естественный свет - свет, одинаково распространяющийся по всем направлениям.

Поляризованный свет – свет, в котором направления колебаний светового вектора упорядочены.

Плоскополяризованный свет - свет, в котором вектор Е (следовательно, H) колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу

Естественный свет можно поляризовать – явление поляризации, используя поляризаторы – пропускающие колебания только определенного направления.

Интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от угла α между оптическими осями кристаллов по закону

J = J₀ cos² α – закон Малюса

Интенсивность света прямо пропорциональна квадрату амплитуды световых колебаний.

Степень поляризации определяется по формуле

Для естественного света I_mах = I_min и Р=0, для плоскополяризованного света I_min=0 и Р=1.

Поляризация света также наблюдается при преломлении и отражении на границе диэлектриков.

В этом случае отраженный и преломленный лучи частично поляризуются во взаимно - перпендикулярных плоскостях. Степень поляризации зависит от угла падения. При некотором угле падения α_Р отраженный свет оказывается полностью поляризованным.

Угол полной поляризации α_Р зависит от относительного показателя преломления отражающей среды

tg α_Р = n – закон Брюстера

При этом угол между отраженным и преломленным лучами равен 90⁰, т.е. взаимно - перпендикулярны.

Поглощение света - явление потери энергии световой волной, проходящей через вещество, вследствие преобразования энергии волны в другие формы: внутреннюю энергию вещества и в энергию вторичного излучения.

В результате поглощения интенсивность света уменьшается по закону

- закон Бугера

В случае раствора

- закон Бугера - Бера

где α – коэффициент поглощения, х – толщина вещества, через которую проходит свет, с – концентрация раствора.

Коэффициент поглощения зависит от длины волны света, химической природы и состояния вещества, но не зависит от интенсивности света. Так как α зависит от длины волны или частоты, различают линейчатый и сплошной спектры поглощения.

У веществ, атомы и молекулы которых практически не взаимодействуют (газы) α ≈ 0 и лишь для очень узких спектральных областей (примерно 10^-12 – 10^-11 м) - линейчатый спектр поглощения.

Для диэлектриков α = 10^-3 – 10^-5 см^-1 – невелик, однако у них наблюдается селективное (избирательное) поглощение света в определенных интервалах длин волн, когда α резко возрастает, и наблюдаются широкие полосы поглощения – сплошной спектр поглощения. Это связано с тем, что в диэлектриках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлением резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах.

Для металлов α = 10³ – 10⁵ см^-1 - поэтому металлы являются непрозрачными для света. В металлах из-за наличия свободных электронов, возникают токи, сопровождающиеся выделением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой волны уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию. Чем выше проводимость металла, тем сильнее поглощение света.

Зависимостью коэффициента поглощения от длины волны объясняется окрашенность поглощающих тел. Стекло, слабо поглощающее красные и оранжевые лучи и сильно поглощающие зеленые и синие при освещении белым светом будет казаться красным. Если на такое стекло направить зеленый и синий свет, то из-за сильного поглощения светом этих длин стекло будет казаться черным. По структуре спектров поглощения определяют количественный и качественный состав вещества.

Проходя через мутную среду, свет дифрагирует беспорядочно и распространяется во всевозможных направлениях, т.е. рассеивается. Дифракцию в мутных средах называют рассеянием света.

Интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны - закон Рэлея

Следовательно, из белого (солнечного света), проходящего сквозь атмосферу рассеиваются преимущественно короткие волны, соответствующие синему и голубому цветам.

Дисперсия света - зависимость показателя преломления n вещества от частоты ν (длины волны λ) света или зависимость фазовой скорости υ световых волн от частоты ν.

Дисперсия света представляется в виде зависимости n = f (λ)

Величина - дисперсия вещества

показывает, как быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Для прозрачных веществ n с уменьшением λ монотонно увеличивается. Следовательно, по модулю также увеличивается с уменьшением λ. Такая дисперсия называется нормальной. Если n уменьшается с уменьшением λ - аномальная дисперсия.

Следствие дисперсии – разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через призму.

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где ε – диэлектрическая проницаемость среды, μ - магнитная проницаемость.

В оптической области спектра для всех веществ μ ≈ 1, поэтому

.

Отсюда выявляются некоторые противоречия: величина n, являясь переменной, остается в то же время равной определенной постоянной . Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями.

Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца.

Используем электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив, что дисперсия света является следствием зависимости ε от частоты ω световых волн.

Диэлектрическая проницаемость вещества по определению равна

где χ – диэлектрическая восприимчивость среды, ε₀ - электрическая постоянная, Р – мгновенное значение поляризованности.

Следовательно , т. е. зависит от Р

В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны.

Если концентрация атомов в диэлектрике равна n₀, то мгновенное значение поляризованности Р = n₀p = n₀ex

Тогда

Уравнение вынужденных колебаний электрона для простейшего случая запишется в виде

где F₀ = eE₀ - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны

- собственная частота колебаний электрона, m – масса электрона

Решив это уравнение, найдем в зависимости от констант атома (е, m, ω₀) и частоты ω внешнего поля, т.е. решим задачу дисперсии.

Решение уравнения колебаний можно записать в виде

x = A cos ωt

где

Подставляя эти значения в формулу для n, получим

Отсюда вытекает, что показатель преломления n зависит от частоты внешнего поля ω, т.е. полученные зависимости подтверждают явление дисперсии света.

График зависимости n от ω имеет вид