Тема 12. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Из закона Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению э.д.с. индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Но, э.д.с. возникает в любой цепи только тогда, когда на заряды действуют сторонние силы. Эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение нельзя объяснить силой Лоренца, так как сила Лоренца не действует на неподвижные заряды.

Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

Т аким образом

то

Ц иркуляция напряженности электростатического поля E_Q вдоль любого замкнутого контура

Следовательно, электрическое поле Е_В, возбуждаемое магнитном полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Если всякое переменное магнитное поле возбуждает вихревое электромагнитное поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызывающим магнитным полем Максвелл ввел понятие тока смещения. Из всех физических свойств, присущих току проводимости Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создать в окружающем пространстве магнитное поле. По своей сути ток смещения – это изменяющееся со временем электрическое поле. Поэтому ток смещения существует не только в вакууме и диэлектриках, но и внутри проводников, по которым течет переменный ток.

Максвелл ввел понятие полного тока равного сумме тока проводимости и тока смещения.

Плотность полного тока j = j_пр + j_см

где - плотность тока смещения

D – электрическое смещение D = εε₀Е

Тогда теорема о циркуляции вектора магнитной напряженности Н запишется в виде

- обобщенная теорема о циркуляции

вектора магнитной напряженности

В основе теории Максвелла лежит четыре уравнения:

1. - это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.

2. - это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. - теорема Гаусса для поля диэлектрического смещения

D электростатического поля в диэлектрике

4. - теорема Гаусса для поля В

Итак, полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме составляют эти четыре уравнения.

Между величинами, входящими в уравнения Максвелла есть связь

D =εε₀E ; B = μμ₀H; j = γE

Из уравнения Максвелла вытекает, что источниками электромагнитного поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющееся во времени магнитное поле, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых заряды, токи периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей.

Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью с и резистора сопротивлением R. Электрические колебания можно сопоставить с механическими колебаниями маятника.

Идеализированный контур (сопротивление которого приблизительно равно нулю) имеет вид

Согласно закону Ома для контура

+q где IR – напряжение на резисторе

L с -q - напряжение на конденсаторе

- э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании переменного тока.

Тогда

Разделив на I и представив I = q´ , получим дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре

- дифференциальное уравнение

электромагнитных колебаний

Если сопротивление рано нулю, то электромагнитные колебания являются гармоническими.

Тогда - дифференциальное уравнение свободных

гармонических колебаний

Заряд q совершает гармонические колебания по закону

где q_m - амплитуда колебаний,

- собственная частота контура

Т= 2π - период электромагнитных колебаний.

формула Томсона

Сила тока в колебательном контуре

где – амплитуда тока.

Напряжение на конденсаторе

где - амплитуда напряжения.

Таким образом, колебания тока I опережают по фазе колебания заряда q на π/2, т.е. когда ток достигает максимального значения, заряд q обращается в нуль и наоборот.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуре имеет вид

Учитывая, что - коэффициент затухания

можно записать

Как и в случае механических колебаний, колебания заряда совершаются по закону

с частотой

при R = 0

Логарифмический декремент затухания

Ne – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

τ – время релаксации – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Добротность колебательного контура

Вынужденные колебания - колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся э.д.с.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы и вынужденных колебаний.

Переменный ток – ток, периодически изменяющийся по величине и по направлению. Наиболее распространенным является синусоидальный переменный ток, мгновенные значения которого изменяются во времени по закону синуса или косинуса

где U₀ и I₀ – максимальные (амплитудные) значения напряжения и тока,

ωt – фаза тока, ω = 2πν – круговая частота переменного напряжения и тока.

Также пользуются эффективными (действующими) значениями напряжения и тока

Рассмотрим цепи, к каждой из которых приложено переменное напряжение U = U_m cos ωt

R L с

~ ~ ~

Сопротивление R в цепи тока называется активным, так как при прохождении тока в нем происходит необратимая потеря электрической энергии, которая переходит в другие виды энергии.

- активное сопротивление

Сила тока в цепи с резистором будет изменяться по закону

Ток в цепи с катушкой индуктивности будет отставать по фазе от приложенного напряжения на p /2

Ток в цепи с конденсатором будет опережать по фазе напряжения на p /2

В цепи с катушкой индуктивности

R_L = ωL – индуктивное сопротивление

А в цепи с конденсатором

- емкостное сопротивление

R_L – R_c – реактивное сопротивление - не вызывает нагревания элементов электрической цепи, т.е электрическая энергия не переходит в другие виды энергии.

Если же последовательно соединены активное сопротивление R_А, и реактивное сопротивление R_L и R_c, то полное сопротивление цепи Z переменного тока будет определяться по формуле

- реактивное сопротивление

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока

P= U I

В случае переменного тока U = U_mcos (ωt) I = I_m cos (ωt – φ)

Практический интерес представляет среднее значение мощности за период колебания

Учитывая, действующие значения тока и напряжения выражение средней мощности можно записать в виде

где cos φ – коэффициент мощности.