Тема 10. Магнитное поле в вакууме и в веществе

Основные свойства магнитного поля:

- магнитное поле порождается током (движущимися зарядами);

- магнитное поле обнаруживается по действию на ток.

Важная особенность магнитного поля: оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. А электрическое поле действует как на неподвижные, так и движущиеся в нем электрические заряды.

Магнитное поле характеризуется двумя величинами: вектор магнитной индукции и вектор напряженности.

Вектор магнитной индукции В характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т.е. в различных средах вектор магнитной вектор В будет иметь разные значения.

Вектор напряженности Н характеризует магнитное поле макротоков.

[B] = [Тл]

Вектор магнитной индукции В связан с вектором напряженности Н соотношением: В = mm₀Н

m₀ = 4p×10^-7 Гн/м – магнитная постоянная

m - магнитная проницаемость среды, показывающая во сколько раз магнитное поле макротоков вектора напряженности, усиливается за счет поля микротоков среды.

Макротоки – токи, текущие в проводах, микротоки – токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микротоки создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков.

Так, как магнитное поле является силовым, то его по аналогии с электрическим полем изображают с помощью линий магнитной индукции.

Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают, с направлением вектора В. Линии магнитной

индукции всегда замкнуты.

I Направление силовых линий определяется

правилом буравчика: если рукоятку бурав-

чика ввинчивать по направлению тока, то

направление вращения ручки буравчика

указывает направление вектора магнитной

индукции.

Закон Био – Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А напряженность dН имеет вид

Для магнитных полей также соблюдается принцип суперпозиции

Рассмотрим применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитных полей:

1.Напряженность магнитного поля для бесконечного прямолинейного проводника с током

2. Напряженность магнитного поля для проводника с конечной длиной

3. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока

4. Напряженность магнитного поля на оси кругового тока

где х – расстояние от произвольной точки, лежащей на оси кругового тока.

На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера

F_A = IBl sina - сила Ампера

где a - угол между длиной проводника и вектором магнитной индукции.

Направление вектора силы Ампера определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор магнитной индукции В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующий на ток.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух параллельных токов.

- закон Ампера

Если токи имеют противоположные направления – отталкиваются, одинаковые направления - притягиваются.

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадь dS, перпендикулярную полю, численно равен числу силовых линий, пронизывающих эту площадь

B Ф = ВScosa [Вб] - магнитный поток

S Поток вектора магнитной индукции Ф через

S произвольную поверхность S равен

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенных перпендикулярно вектору магнитной индукции

Ф = ВS

Если поверхность замкнута, то полный поток вектора магнитной индукции

- теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Выясним, как ведет себя контур с током в магнитном поле. Пусть контур малых размеров со сторонами а и ℓ по которому течет ток I.

0

+ - На параллельные полю стороны ℓ поле не

действует. На стороны а в соответствии

I с правилом левой руки и формулой Ампе-

B ра действует пара сил, момент которой ра-

j вен M = Fh

а где F = IBa sinb - сила Ампера

I р_m b - угол между магнитной индукцией и на-

ℓ правлением тока

0^’ h – плечо силы h = ℓcosj

0¢ j - угол между В и стороной ℓ.

Так, как sinb = 1, сторона а перпенди-

кулярна магнитной индукции В, то

F М = IBaℓcosj

ℓ aℓ = S – площадь прямоугольного контура

a B Тогда М = IBScosj

IS = р_m - магнитный момент, то

h р_m М = р_m Bcosj

F

Направление вектора р_m совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура, которое определяется правилом правого винта: если рукоятка винта вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта показывает направление вектора р_m.

В случае контура произвольной формы в формулу вводится угол a между векторами магнитного момента р_m и магнитной индукции В.

cosj = sin(90-j) = sina и тогда M = p_mBsina

a- угол между векторами магнитного момента р_m и магнитной индукции В.

Определим работу по перемещению проводника с током в магнитном поле. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера

F = IBℓ sina

dx I Так, как поле перпендикулярно проте-

+ кающему по проводнику току, то

ℓ F a = 1 и F = IBℓ

Работа по перемещению проводника

1 2 I - dA = Fdx = IBℓ dx

ℓ dx = dS – площадь магнитного поля вектора магнитной индукции В, которую пересек при своем движении отрезок проводника.

Тогда

dA = IB dS

B dS = dФ – поток магнитной индукции сквозь площадь dS.

Таким образом, dA = I dФ

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение потока магнитной индукции сквозь площадь, обтекаемую потоком.

Магнитное поле действует не только на проводник с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле.

Сила, действующая на заряд q, движущийся в магнитном поле со скоростью υ называется силой Лоренца.

М ы знаем, что сила, действующая на проводник с током F = IBlsina

Известно, что , то где ℓ - путь частицы

Тогда F_л = qυBsina - сила Лоренца

Направление силы Лоренца определяется с помощью по правилу левой руки, подразумевая, под направлением тока I направление скорости u и учитывая, что для q>0 (I и u совпадают), а для q<0 (I и u противоположны).

Направления силы F, скорости υ, и магнитной индукции В взаимно перпендикулярны. Сила Лоренца изменяет только направление скорости движения, частицы не изменяя модуля скорости. Следовательно, работа лоренцевой силы равна нулю, т.е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицы (не изменяет кинетической энергии частицы). Переменное магнитное поле изменяет энергию и модуль скорости частицы.

Выражение для силы Лоренца позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле.

1) a=0, то есть υ║В, тогда сила Лоренца F_л = 0, т.е. магнитное поле на частицу не действует и она движется прямолинейно и равномерно.

2) a=90⁰, то есть υ В, тогда F_л = qυB постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы.

Согласно II – закона Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение

Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности радиусом

Период вращения частицы, т.е. время, затрачиваемое на один полный оборот

Вместо R подставим значение и получим

– удельный заряд.

3. 0 a 90⁰ - частица движется по винтовой линии (спирали), ось которой параллельна магнитному полю. Шаг винтовой линии

h = υ_║T = υTcosa

Подставив вместо Т его значение, получим

h =

Если на движущийся заряд помимо магнитного поля действует и электрическое поле, то результирующая сила F, приложенная к заряду

F = qE + qυB – формула Лоренца

Эффект Холла – это возникновение в металле или полупроводнике с током плотностью j, помещенном в магнитном поле вектора магнитной индукции В электрического поля в направлении, перпендикулярном вектору магнитной индукции В и плотностью тока j.

Металлическую пластину с током

d - - - - - - плотностью j поместим в магнитное

F_л j поле, где вектор магнитной индукции

υ перпендикулярен плотности тока.

a При данном направлении скорость

+ + + + электронов направлена в обратную

сторону.

В

На электроны действует сила Лоренца, которая направлена вверх. Тогда у верхнего края будет избыток электронов (зарядится отрицательно), а у нижнего края – их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между пластинами возникает дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е_В этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов.

F = eE_B - электрическая сила

F = eυB - сила Лоренца

Тогда eE_B = eυB

Известно, что , тогда

или Dj = υB a – холловская разность потенциалов

Учитывая, что I =jS = neυS Þ получим

где S = ad – площадь поперечного сечения,

- постоянная Холла, зависит от вещества

Следовательно - холловская разность потенциалов.

Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул. Мы говорили, что существуют макротоки и микротоки.

Микротоки обусловлены движением электронов в атомах и молекулах. Электрон в атоме движется по круговым орбитам, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом p_m = IS = evS

где I = ev – сила тока

n - частота вращения электрона по орбите, S – площадь орбиты

p_m Если электрон движется по часовой стрелке,

I то ток направлен против часовой стрелки и

r e вектор p_m по правилу правого винта перпен-

дикулярен плоскости орбиты электрона.

u С другой стороны, движущийся по орбите

L_e электрон обладает механическим моментом

импульса L_e

L_e = mur = 2mnS – орбитальный момент электрона

где u = 2pn r S = p r²

Направление момента импульса L_e также подчиняется правилу правого винта.

Н аправления вектора магнитного момента p_m и механического момента импульса L_e противоположны, поэтому

- гиромагнитное отношение орбитальных моментов.

«-» показывает, что вектор магнитного момента p_m и механического момента импульса L_e противоположны.

Электрон также обладает собственным механическим моментом импульса L_eS – спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона L_eS соответствует собственный (спиновый) магнитный момент

р_mS = q_SL_eS

g_S – гиромагнитное отношение спиновых моментов.

П роекция р_mS на направление вектора магнитной индукции В

где h - постоянная Планка

m_В – магнетон Бора – единица магнитного момента электрона.

Тогда общий магнитный момент атома (молекулы)

равен сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов, входящих в атом электронов. Таким образом, атомы обладают магнитными моментами.

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием поля намагничиваться или приобретать магнитный момент. По своим магнитным свойствам магнетики подразделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Всякое вещество при внесении её во внешнее магнитное поле намагничивается в той или иной степени, т.е. создает свое собственное магнитное поле, накладывающееся на внешнее поле.

Количественной характеристикой намагниченного состояния вещества служит векторная величина – намагниченность j, равная отношению магнитного момента малого объема вещества к этому объему DV.

p_mi – магнитный момент i-го атома из общего числа n атомов, содержащихся в объеме DV. Этот объем DV должен быть столь малым, чтобы в его пределах магнитное поле можно считать однородным.

Диамагнетики – вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении, противоположном направлению вектора магнитной индукции В и ослабляют магнитное поле. В отсутствии внешнего поля магнитный момент p_m=0 и m<1. При внесении диамагнетика в магнитное поле атомы приобретают наведенные магнитные моменты, пропорциональные вектору магнитной индукции В и противоположны ему по направлению.

Парамагнетики - вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении вектора магнитной индукции В. Атомы (молекулы или ионы) парамагнетика обладают собственным магнитным моментом р_m – намагничивается, усиливает магнитное поле m>1. Процесс намагничивания парамагнетиков состоит в упорядочении расположения магнитных моментов его атомов (молекул) по отношению к направлению вектор магнитной индукции В.

Ферромагнетики – сильномагнитные вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т.е. намагничены даже при отсутствии внешнего поля.

j Для диа- и парамагнетиков зависи-

j_нас ферро мость j от Н линейна, то для ферро-

магнетиков по мере возрастания

пара напряженности Н намагниченость

j растет вначале быстро, а потом

Н медленнее и наступает магнитное

насыщение j_нас, уже не зависящее

диа от напряженности поля.

j

Если намагнитить ферромагнетик до

j_нас 1 насыщения (точка 1), а затем начать

2 уменьшать напряженность намагни-

6 чивающего поля, то уменьшение на-

-Н_нас -Н_с 0 Н_е Н магниченности описывается кривой

3 Н_нас 1-2. При Н = 0, намагниченность не

-j_ост 5 равна нулю, т.е. наблюдается ос-

таточная намагниченность j_ост.

4 -j_нас

магнитный гистерезис

В постоянных магнитах намагниченность j обращается в нуль под действием поля Н_с, имеющего направление, противоположное полю, вызывающему намагничивание. Напряженность Н_с называется коэрцитивной силой. При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (3-4) и при Н = -Н_нас достигается насыщение (точка 4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (4-5-6) и вновь перемагнитить до насыщения (6-1). Ферромагнетики обладают еще одной особенностью - для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, при которой он теряет свои особые магнитные свойства – точка Кюри. Эти свойства ферромагнетиков объясняется особенностью их структуры – доменной структурой. В ферромагнетике имеются небольшие области – домены, которые представляют собой маленькие магнитики, внутри которых магнитные моменты всех молекул направлены в одну сторону. Так, как расположение самих доменов беспорядочно, то суммарный магнитный момент большого куска намагниченного ферромагнетика равен нулю. Когда ферромагнетик помещают в магнитное поле, происходит ориентировка магнитных моментов доменов и в результате возникает макроскопическое намагничение.

Циркуляцией вектора магнитной индукции В в вакууме по замкнутому контуру называется интеграл

где dl – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура

B_l = Bcosα – составляющая вектора В в направлении касательной к контуру

α – угол между векторами В и dl.

З акон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)

n – число проводников с током, охватываемых контуром.

В веществе на магнитное поле макротоков В₀ (называется внешним) накладывается дополнительное магнитное поле микротоков (внутреннее) - В_внут.

Таким образом, магнитная индукция В зависит от магнитных свойств магнетика.

В общем случае

Тогда, можно записать

В = В₀ + В_внут

М агнитная индукция В характеризует результирующее магнитное поле в веществе

Для поля в веществе

Т огда закон полного тока для магнитного поля в веществе

- - напряженность магнитного поля

Т огда - закон полного тока для магнитного поля в среде

или теорема о циркуляции напряженности Н.

С помощью закона полного тока можно вычислить магнитное поле соленоида и тороида.

Соленоид – цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию.

- магнитная индукция поля внутри соленоида

N - число витков; - число витков на единицу длины.

Тороид - кольцевая катушка с током, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора.

В этом случае , где ℓ = 2πR – длина окружности

Тогда - магнитная индукция поля тороида.