«Симплексний метод розв᾽язування задач лінійного програмування»

Підготувала викладач

Ковріга Л.І.

Розглянуто і схвалено на засіданні

предметно-циклової комісії

Протокол № ___ від _________2013 р.

Голова предметно-циклової комісії

__________ Пітель І.М.

2013

Зміст

1. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання, питання для самоконтролю.

2. Основні теоретичні відомості.

3. Завдання для практичної роботи.

4. Приклад виконання практичної роботи.

5. Список рекомендованої літератури.

6. Зміст звіту.

7. Інструкція до проведення практичної роботи.

Тема: Симплексний метод розв᾽язування задач лінійного програмування

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати симплексний метод до розв’язування практичних задач лінійного програмування; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка.

Питання для самоконтролю:

1. Методика зведення загальної ЗЛП до канонічної форми.

2. Алгоритм симплексного методу розв'язування ЗЛП.

3. Ознака оптимальності опорного плану.

4. Перевірка опорного плану на оптимальність.

Теоретичні відомості Симплекс-метод розв'язування злп.

1. Звести систему обмежень до канонічної форми:

- якщо і-те обмеження-рівність має значення b_i < 0, то помножити і-те обмеження на (-1);

- якщо і-те обмеження має вигляд нерівності a_i1x₁+ a_i2x₂+…+ a_inx_n b_i, то потрібно ввести допоміжну змінну х_n+1 0, тоді a_i1x₁+ a_i2x₂+…+ a_inx_n + х_n+1 =b_i

- якщо і-те обмеження має вигляд нерівності a_i1x₁+ a_i2x₂+…+ a_inx_n b_i, то потрібно ввести допоміжну змінну х_n+1 0, тоді a_i1x₁+ a_i2x₂+…+ a_inx_n - х_n+1 =b_i

2. Визначити початковий опорний план злп.

- ЗЛП записують у векторній формі;

- Визначені одиничні лінійно-незалежні вектори, які утворюють базис і змінні, що відповідають їм, називають базисними. Всі інші змінні – вільні, які прирівнюють до нуля та з кожного обмеження задачі визначають значення базисних змінних.

- Якщо у системі обмежень немає достатньої кількості одиничних векторів, тоді застосовують метод штучного базису.

3. Побудувати симплексну таблицю.

i

Ба- зис

С баз

А0

С1

С2

…

Cm

Cm+1

…

Ck

…

Cn

А1

A2

…

Am

Am+1

…

Ak

…

An

1 2 . . . m

A1 A2 . . . Am

C1 C2 . . . Cm

x1 x2 . . . xm

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

. . .

0 0 . . . 1

x1.m+1 x2.m+1 . . . xm.m+1

… … . . . …

x1k x2k . . . xmk

… … . . . …

x1n x2n . . . xmn

m+1

Zj-Cj

Z0

0

0

…

0

Zm+1- Cm+1

…

Zk-Ck

…

Zn--Cn

- У першому стовпчику і таблиці визначається кількість m базисних змінних;

- У другому стовпчику «Базис», тобто вектори A_j, що знаходяться біля базисних змінних в системі обмежень ЗЛП;

- У третьому стовпчику симплексної таблиці – «С_баз» - записують коефіцієнти при базисних змінних у цільовій функції задачі;

- У четвертому стовпчику симплексної таблиці – опорний план ЗЛП.

- У решти стовпчиків симплексної таблиці, кількість яких відповідає кількості змінних задачі, записують відповідні коефіцієнти з кожного обмеження ЗЛП.

4. Перевірка опорного плану на оптимальність за допомогою оцінок Z_j – C_j . Якщо хоча б одна із оцінок Z_j – C_j не задовольняє умову оптимальності, то переходять до нового опорного плану.

Теорема (ознака оптимальності плану)

Опорний план Х^*=(х₁^*,х₂^*, …, х_n^*) є оптимальним, якщо для всіх j (j= ) виконується умова Z_j – C_j 0(для max), Z_j – C_j 0(для min), де Z_j – C_j= (j= ).

Якщо не всі _j задовільняють умову оптимальності, то тоді потрібно виконати перехід до наступного нового опорного плану.

5. Перехід до нового опорного плану задачі виконується визначенням розв’язувального елемента та розрахунком нової симплекс-таблиці.

- включають до базису ту змінну, що не задовольняє умову оптимальності;

- якщо таких змінних кілька, то серед них вибирають найбільшу за абсолютною величиною і відповідну їй змінну вводять до базису (направляючий стовпчик);

- для визначення змінної, яка виключається з базису, знаходять для всіх додатних a_ij направляючого стовпчика величину . Найменше значення на перетині рядка і стовпця визначає розв’язувальний елемент;

- за допомогою розв’язувального елемента та методу Гаусса розраховують нову симплекс-таблицю.

6. Ітераційний процес повторюють доти, доки не буде визначено оптимальний план задачі.

У разі застосування симплекс-методу розв'язування ЗЛП можливі такі випадки:

1. Якщо Z_j – C_j 0, то ЗЛП має альтернативний оптимальний план, який можна отримати, вибравши розв’язувальний елемент та здійснивши один крок симплекс-методу;

2. Якщо при переході у симплекс-методі від одного опорного плану задачі до іншого в направляючому стовпчику немає додатних елементів a_{ij ,}то цільова функція ЗЛП є необмеженою в даній області й оптимальних планів не існує.