Тема: Правила побудови двоїстих задач до задач лінійного програмування.

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись будувати двоїсті задачі та розв’язувати практичні задачі лінійного програмування; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка, методичні вказівки.

Питання для самоконтролю:

1. Роль двоїстості в лінійному програмуванні.

2. Поняття та вид двоїстості ЗЛП.

3. Правила побудови двоїстих задач.

4. Симетричні та несиметричні двоїсті пари ЗЛП.

5. Теореми двоїстості.

6. Правило відшукання оптимального плану двоїстої задачі ЗЛП.

7. Практична роль теорії двоїстості.

Теоретичні відомості Правила побудови двоїстих задач до задач лінійного програмування.

Роль двоїстості в лінійному програмуванні.

Двоїста ЗЛП – це допоміжна ЗЛП, яка отримується з умов прямої задачі за деякими правилами. Існує зв᾽язок нелише між умовами прямої і двоїстої задач, а й між їх розв᾽язками. Це означає, що можна розв᾽язати легшу з них та отримати результат складнішої.

Поняття та вид двоїстості ЗЛП.

Нехай задана задача лінійного програмування

(1)

(2) (3)

Двоїста до неї задача має вигляд:

(2.1)

(2.2) (2.3)

Правила побудови двоїстих задач.

3. Кількість обмежень прямої задачі рівна кількості невідомих двоїстої.

4. Коефіцієнти цільової функції прямої ЗЛП є вільними членами в системі обмежень двоїстої ЗЛП.

5. Матриця коефіцієнтів системи обмежень двоїстої задачі отримуєтьсь в результаті транспонування матриці коефіцієнтів системи обмежень прямої задачі.

6. Якщо пряма задача є задачею на , то двоїстаЗЛП є задачею на (і навпаки).

Симетричні та несиметричні двоїсті пари ЗЛП.

Пряма задача	Двоїста задача
Симетричні
; ;	; ;
; ;	; ;
Несиметричні
; ;	; ;
; ;	; ;

Теореми двоїстості.

Перша теорема двоїстості.

Якщо одна з пари двоїстих задач має оптимальний план, то інша задача також має розв᾽язок, причому значення цільових функцій для оптимальних планів дорівнюють одне одному, тобто і навпаки.

Якщо пряма задача лінійного прграмування має оптимальний план , що визначений симплекс-методом, то оптимальний план двоїстої задачі визначається: (2.4) . У виразі (2.4) - вектор-рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при змінних, що є базисними в оптимальному плані. - матриця, обернена до матриці , яка складена з базисних векторів оптимального плану, компоненти яких взято з початкового опорного плану задачі. Обернена матриця завжди міститься в останній симплексній таблиці у тих стовпцях, де в першій таблиці містилась одинична матриця.

Друга теорема двоїстості.

Якщо в результаті підстановки оптимального плану прямої задачі в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконуються як строга нерівність, то відповідний і-тий компонент оптимального плану двоїстої задачі рівний нулю. Якщо і-тий компонент оптимального плану двоїстої задачі додатний, то відповідне і-те обмеження прямої задачі виконується для оптимального плану як рівняння.

Третя теорема двоїстості.

Двоїста оцінка характеризує приріст цільової функції, який зумовлений малими змінами вільного члена відповідного обмеження.